Per quanto riguarda il secondo: l'inclusione \(\displaystyle i \) è definita come l'applicazione (identità) che ad ogni elemento \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) associa \(\displaystyle \mathbf{v}\in W \), quindi è banalmente una mappa iniettiva e induce quindi un epimorfismo \(\displaystyle i^*:\hom(W,K)\to \hom(V,K) \). Dato che \(\displaystyle i^* \) manda \(\displaystyle \phi\in\hom(W,K) \) in \(\displaystyle \phi\circ i \), il suo nucleo è costituito innanzitutto dal funzionale nullo \(\displaystyle \phi\equiv 0 \); inoltre \(\displaystyle \phi\circ i=0 \) anche se \(\displaystyle i \) agisce su \(\displaystyle \mathbf{0}_V \), quindi ha senso dire che al nucleo appartengono anche i funzionali precomposti con l'inclusione dello zero? Sarebbe coerente con il fatto che \(\displaystyle \hom(W,K)\ge\hom(V,K)\), almeno. La scrittura \(\displaystyle W^\perp \cong (V/W)^* \) non l'ho mai vista prima: cosa si intende con \(\displaystyle V/K \)?
Per il terzo, l'iniettività di \( \text{tr}^* : K\to M_n(K)^* \) segue dal fatto che \(\displaystyle \dim K=1=\dim\ker\text{tr}^*+\dim\Im\text{tr}^* \) e siccome deve essere \(\displaystyle \dim\Im\text{tr}^*=1 \), il nucleo è banale. A questo punto mi sorge una domanda. E' possibile parlare di \(\displaystyle \hom(K, K) \cong K\), cioè di funzionali definiti sul campo stesso? Sto cercando un modo di ricondurmi alla situazione del primo punto, ma mi scoccia il fatto che \(\displaystyle \text{tr}^* \) sia definita su \(\displaystyle K \) anziché su uno spazio duale.
Per quanto riguarda infine la caratteristica di \(\displaystyle K \): qui ci addentriamo ancora di più in un territorio inesplorato
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da quello che leggo su Wikipedia mi verrebbe da dire che in queste situazioni la caratteristica del campo è sempre uguale a zero, ma non saprei farci su chissà quali discorsi! Agli altri esercizi penso quando mi sono chiarito per bene questi, nel frattempo spero di non star dicendo un mucchio di stupidate (nel caso è colpa tua che mi proponi questi esercizi strambi)!