Esercizi sui funzionali lineari

[killing_buddha]

Ma no, hai solo usato la definizione di epimorfismo

[Uomo Grasso]

Ok! Allora l'altra implicazione è facile, perché se \(\displaystyle \varphi \) è suriettiva allora \( \displaystyle \phi\circ \varphi=\phi'\circ \varphi \Leftrightarrow \phi=\phi' \), cioè \(\displaystyle \varphi^* \) è iniettiva. Vorrei usare un ragionamento simile per dimostrare l'altra proposizione ma non capisco quale dovrebbe essere la mappa \(\displaystyle f \) definita su \(\displaystyle \hom(V, K) \) nella definizione di epimorfismo per \(\displaystyle \varphi^* \). Inoltre so anche che \(\displaystyle \varphi \) è iniettiva se e solo se date due mappe \(\displaystyle g, h: Z\to V \) si ha \(\displaystyle \varphi\circ g=\varphi\circ h \Leftrightarrow g=h \) (monomorfismo?). Sono convinto che mettendo le cose insieme scegliendo bene \(\displaystyle f \) e \(\displaystyle Z \) si arrivi alla soluzione ma sono un po' incastrato! E' la strada giusta?

[Uomo Grasso]

Per quanto riguarda il secondo: l'inclusione \(\displaystyle i \) è definita come l'applicazione (identità) che ad ogni elemento \(\displaystyle \mathbf{v}\in V \) associa \(\displaystyle \mathbf{v}\in W \), quindi è banalmente una mappa iniettiva e induce quindi un epimorfismo \(\displaystyle i^*:\hom(W,K)\to \hom(V,K) \). Dato che \(\displaystyle i^* \) manda \(\displaystyle \phi\in\hom(W,K) \) in \(\displaystyle \phi\circ i \), il suo nucleo è costituito innanzitutto dal funzionale nullo \(\displaystyle \phi\equiv 0 \); inoltre \(\displaystyle \phi\circ i=0 \) anche se \(\displaystyle i \) agisce su \(\displaystyle \mathbf{0}_V \), quindi ha senso dire che al nucleo appartengono anche i funzionali precomposti con l'inclusione dello zero? Sarebbe coerente con il fatto che \(\displaystyle \hom(W,K)\ge\hom(V,K)\), almeno. La scrittura \(\displaystyle W^\perp \cong (V/W)^* \) non l'ho mai vista prima: cosa si intende con \(\displaystyle V/K \)?

Per il terzo, l'iniettività di \( \text{tr}^* : K\to M_n(K)^* \) segue dal fatto che \(\displaystyle \dim K=1=\dim\ker\text{tr}^*+\dim\Im\text{tr}^* \) e siccome deve essere \(\displaystyle \dim\Im\text{tr}^*=1 \), il nucleo è banale. A questo punto mi sorge una domanda. E' possibile parlare di \(\displaystyle \hom(K, K) \cong K\), cioè di funzionali definiti sul campo stesso? Sto cercando un modo di ricondurmi alla situazione del primo punto, ma mi scoccia il fatto che \(\displaystyle \text{tr}^* \) sia definita su \(\displaystyle K \) anziché su uno spazio duale.

Per quanto riguarda infine la caratteristica di \(\displaystyle K \): qui ci addentriamo ancora di più in un territorio inesplorato da quello che leggo su Wikipedia mi verrebbe da dire che in queste situazioni la caratteristica del campo è sempre uguale a zero, ma non saprei farci su chissà quali discorsi! Agli altri esercizi penso quando mi sono chiarito per bene questi, nel frattempo spero di non star dicendo un mucchio di stupidate (nel caso è colpa tua che mi proponi questi esercizi strambi)!

[dissonance]

Mi permetto di dissentire sarà questione di abitudine ma con i conti concreti per ora mi ci trovo bene!

Qualche anno fa ho seguito un corso di Juan Luis Vázquez, un grosso nome delle equazioni differenziali paraboliche. Lui sarebbe stato d'accordo con te. Parlava di "braccio di ferro" (in italiano) riferendosi all'abilità di portare a termine con successo lunghi calcoli concreti, esattamente quelli che KB disprezza. Ho imparato molto da quel corso.

[killing_buddha]

Hai notato però come queste differenze sono sempre differenze ideologiche tra cosa si pensa sia importante in Matematica, e la polarizzazione avviene proprio tra geometri/analisti/applicati e algebristi/logici? Non penso sia un caso. E comunque non disprezzo i calcoli, ne faccio molti per desiderio o per necessità; ma ci sono conti e conti, e soprattutto ci sono buone ragioni per farli, così come pessime ragioni per farne.

[anto_zoolander]

@killing

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per esempio fissare una base ortonormale è una ottima idea per ridurli!