sto svolgendo il seguente integrale di cui non ho soluzione e vorrei sapere se individuate errori
$int int_(A) (1+y-x)dxdy$ dove $A={(x,y) in RR^2 : arcsinx+arcsiny<=pi/2 }$
Il mio risultato è $7/4pi$
Svolgimento:
Dato la presenza di quei scomodi $arcsin$ faccio la sostituzione
$x=sint$
$y=sinr$
So che dato che le variabili sono argomento dell'arcsin si ha $-1<=x<=1$ e $-1<=y<=1$.
Il determinante della mia Jacobiana è $|costcosr|$
Ma $-pi/2<t<pi/2$ e $-pi/2<r<pi/2$ mi permettono di togliere il modulo dal determinante.
Posso tornare allora a definire gli estremi di integrazione.
Partendo dalla disuguaglianza che definiva $A$ si ha che $r<=pi/2-t$
Quindi il mio integrale sarà
$int_{-pi/2}^{pi/2}dt int_{-pi/2}^{pi/2-t} (1+sint-sinr)costcosrdr$
$int_{-pi/2}^{pi/2}costdt int_{-pi/2}^{pi/2-t}(cosr+sintsinr-sinrcosr)dr$
Salto qualche calcolo per non annoiarvi
$int_{-pi/2}^{pi/2}(cos^2t+sintcos^2t +1/2sin^2t +1+sint)dt=int_{-pi/2}^{pi/2}(1/2cos^2t+1/2cos^2t+sintcos^2t +1/2sin^2t +1+sint)dt$
$int_{-pi/2}^{pi/2}(3/2+sintcos^2t +sint +1/2cos^2t)dt$
$=3/2pi + [cost]_(pi/2)^(-pi/2) + int_{-pi/2}^{pi/2}(sintcos^2t)dt +int_{-pi/2}^{pi/2}1/2cos^2tdt$
$=3/2pi +[-cos^3t/3]_(-pi/2)^(pi/2) +1/2 int_{-pi/2}^{pi/2}(1+cos2t)/2 $
$=7/4pi + 1/8[sina]_(-pi)^(pi)$
E si arriva quindi a $7/4pi$
Grazie mille in anticipo
