Definizioni matematiche

[lisdap]

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[lisdap]

Lisdap ovviamente è un testardo e osso duro, e ripropone agli utenti del forum vecchie domande proposte mesi fa.
Quasi tutte le definizioni matematiche hanno delle variabili. Assegnando un valore alle variabili che sono presenti in una definizione, non faccio altro che particolarizzarla. E' necessario dare un valore a tutte le variabili? La mia risposta è che non è obbligatorio. Infatti mi è capitato più volte di vedere che una definizione veniva utilizzata soddisfando le variabili solo parzialmente.
Una definizione matematica è una proposizione? Si, perché ha senso dire se è vera o falsa, ed essendo una definizione è vera. Ovviamente le definizioni particolari che si ottengono particolarizzando una certa definizione (cioé soddisfando parzialmente o completamente le variabili) sono anch'esse vere, e quindi sono anch'esse proposizioni.
Una definizione matematica è una proposizione aperta? No, perché abbiamo detto che è sempre vera.
Una definizione matematica che ha come predicato "essere uguale" è un'equazione? No, perché non è una proposizione aperta. Per una definizione matematica il cui predicato è = valgono i principi di equivalenza che valgono per le equazioni? Si (si vedano ad esempio le definizioni di grandezze in Fisica).

[lisdap]

La proposizione "il gatto è un felino" è vera. "gatto" indica una classe di oggetti ben minore rispetto a quelli indicati da "felino". La prima è un sottinsieme della seconda. Ora, in una qualunque frase vera in cui compare la parola "felino", è possibile sostituire felino con gatto senza alterare la verità della frase. Tuttavia non è possibile fare l'inverso, cioé se abbiamo una proposizione vera in cui figura gatto e al posto di quest'ultimo ci mettiamo felino la frase potrebbe diventare falsa. Quindi, pur essendo la proposizione di partenza vera, non è possibile sostituire gatto con felino indifferentemente.

Anche i teoremi matematici sono proposizioni vere. Inoltre, noi utilizziamo un teorema sostituendo ipotesi e tesi indifferentemente. Di conseguenza deduco che un teorema matematico, pur essendo vero come la proposizione "il gatto è un felino", si comporta in modo un pò più diverso rispetto a quest'ultima frase, dal momento che LA CLASSE DI OGGETTI INDIVIDUATA DALL'IPOTESI E LA CLASSE DI OGGETTI INDIVIDUATI DALLA TESI COINCIDONO. Qualcuno è d'accordo con ciò che ho scritto?

[@melia]

Io non sono d'accordo.
La frase "Il gatto è un felino" ha le stesse proprietà del teorema "il quadrato è un parallelogrammo" e ogni volta che parli di proprietà del parallelogrammo, sai che sono anche proprietà del quadrato, ma non vale il viceversa.

[lisdap]

Ciao, affinché una frase risulti vera, necessariamente l'insieme degli oggetti individuati dall'ipotesi deve essere contenuto (o al max coincidere) con l'insieme degli oggetti individuati dalla tesi. Ti trovi? Se l'insieme degli oggetti individuati dallipotesi è più grande di quello della tesi, la frase è falsa. Se prendiamo una frase vera e la classe degli oggetti individuati da ipotesi e tesi coincidono, posso sostituire indifferentemente ipotesi con tesi. Nel caso in cui la prima è contenuta nella seconda, posso sostituire la tesi con l'ipotesi, ma non il viceversa. Su questo ci siamo?

[@melia]

L'insieme dei gatti è un sottoinsieme dell'insieme dei felini, l'insieme dei quadrati è un sottionsieme dell'insieme dei parallelogrammi. Non vedo la differenza.

[gugo82]

La proposizione "il gatto è un felino" è vera. "gatto" indica una classe di oggetti ben minore rispetto a quelli indicati da "felino". La prima è un sottinsieme della seconda. Ora, in una qualunque frase vera in cui compare la parola "felino", è possibile sostituire felino con gatto senza alterare la verità della frase. Tuttavia non è possibile fare l'inverso, cioé se abbiamo una proposizione vera in cui figura gatto e al posto di quest'ultimo ci mettiamo felino la frase potrebbe diventare falsa. Quindi, pur essendo la proposizione di partenza vera, non è possibile sostituire gatto con felino indifferentemente.

Proviamo...

Sostituiamo "gatto" a "felino" nella frase: la tigre è un felino.
Che cosa si ottiene? Una frase vera? Secondo quanto esposto sopra, così dovrebbe essere, ma non mi pare proprio.

Quindi c'è un errore logico di base.

Anche i teoremi matematici sono proposizioni vere. Inoltre, noi utilizziamo un teorema sostituendo ipotesi e tesi indifferentemente.

Ma quando mai?!?

Di conseguenza deduco che un teorema matematico, pur essendo vero come la proposizione "il gatto è un felino", si comporta in modo un pò più diverso rispetto a quest'ultima frase, dal momento che LA CLASSE DI OGGETTI INDIVIDUATA DALL'IPOTESI E LA CLASSE DI OGGETTI INDIVIDUATI DALLA TESI COINCIDONO.

Di nuovo, ma quando mai?!?

Secondo te, le classi delle funzioni continue e quelle delle funzioni derivabili sono uguali, perché c'è un teorema in cui l'ipotesi di derivabilità garantisce la tesi della continuità... Ma questo è falsissimo, poiché esistono funzioni continue e non derivabili in nessun punto.

[lisdap]

Hai ragione, ho detto un pò di cazzate! Volevo sapere da te quando una proposizione si dice vera e quando falsa. Quello di vero/falso è un concetto su cui tutti i libri e dispense sul web sorvolano. Cioé lo danno per scontato. L'esperienza mi suggerisce che si dicono vere le proposizioni in cui l'ipotesi individua una classe di oggetti contenuta o coincidente con la classe individuata dalla tesi. In caso contrario, si dicono false. In una definizione, ipotesi e tesi individuano una classe coincidente di oggetti, e quindi sono vere. Infine dico che è possibile sostituire indifferentemente la proprietà definente con la proprietà definita e viceversa dal momento che le due proprietà individuano la stessa classe di enti.

[gugo82]

Volevo sapere da te quando una proposizione si dice vera e quando falsa.

In quale contesto?

Quello di vero/falso è un concetto su cui tutti i libri e dispense sul web sorvolano. Cioé lo danno per scontato.

Se sono dispense di Matematica, cioé se stiamo parlando del concetto di verità in Matematica, allora una proposizione si dice vera solo se è soddisfatta una delle seguenti eventualità: 1 essa è un assioma oppure 2 essa discende da un'altra proposizione vera attraverso le regole di inferenza¹.

L'esperienza mi suggerisce che si dicono vere le proposizioni in cui l'ipotesi individua una classe di oggetti contenuta o coincidente con la classe individuata dalla tesi. In caso contrario, si dicono false.

Stiamo parlando sempre di proposizioni matematiche?
Se sì, è così.

In una definizione, ipotesi e tesi individuano una classe coincidente di oggetti, e quindi sono vere. Infine dico che è possibile sostituire indifferentemente la proprietà definente con la proprietà definita e viceversa dal momento che le due proprietà individuano la stessa classe di enti.

Continui a perseverare nell'errore che ti segnalavo ormai due anni e mezzo fa (cfr. qui e qui): in una definizione non ci sono né ipotesi né tesi.

Poi ti stupisci quando uno non vuole più parlare con te dopo un po' di tempo... Mia nonna diceva: A lava' 'a capa 'o ciuccio, se perde l'acqua e 'o sapone.

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Note

1. Cioé quelle regole che la comunità matematica ha ritenuto di porre come base di un ragionamento corretto ↑

[lisdap]

Ciao gugo, magari ogni tanto potresti cambiare detto visto che quello dell'asino e della trave nell'occhio me li avrai ripetuti una ventina di volte

Ok per le proposizioni vere e false.

Per quanto riguarda le definizioni, con ipotesi e tesi volevo dire rozzamente "primo pezzo" e "secondo pezzo". Comunque, la cosa che ho scoperto è che nella quasi totalità delle definizioni la proprietà definita ha già un suo significato. Cioè, i termini vengono definiti molto spesso per tentare di ridurre le ambiguità, e prima che la definizione viene posta il termine che viene definito ha comunque un suo significato.
Inoltre, non ritengo le definizioni fondamentali come pensavo una volta, infatti penso che i matematici siano andati avanti molto tempo avanti senza avere definizioni.