Problema con la condizione di esattezza di una forma

[pollo93]

Buongiorno a tutti, ho un dubbio riguardo alla condizione di esattezza di una forma differenziale chiusa.
In particolare se io ho una forma chiusa in R2 non definita su (0,0) non posso dure niente sulla sua esattezza in quanto l'insieme in questione non è semplicemente connesso, giusto? Ora però mi chiedo: Se vado ad eseguire l'integrale di questa forma lungo una curva che non passa da (0,0), posso aggirare il problema e considerare la forma come esatta? Grazie.

[Frink]

Se integri la forma lungo un cammino chiuso e la forma è chiusa, allora la forma è esatta, per il teorema a-b-c (quello con le tre condizioni equivalenti di esattezza.
Bada bene, che la curva può essere una qualunque, poiché l'integrale curvilineo di una forma esatta è invariante rispetto ai cammini chiusi o equivalentemente ai cammini con gli stessi estremi.

[dissonance]

l'integrale curvilineo di una forma esatta è invariante rispetto ai cammini chiusi o equivalentemente ai cammini con gli stessi estremi.

Questa è una proprietà delle forme differenziali chiuse, non serve che siano esatte. Di conseguenza, una forma chiusa su un dominio semplicemente connesso è esatta, perché ogni sua circuitazione è uguale all'integrale esteso ad un punto, che fa zero.

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[pollo93]

Ok, innanzitutto grazie della risposta.
Comunque fin a qui ci sono però la mia domanda era:
avendo a che fare con una forma chiusa del tipo: $ \omega= {A(x,y)}/{x^2+y^2} dx+{B(x,y)}/{x^2+y^2}dy $ vediamo che non è definita su un insieme semplicemente connesso (è definita in R2 privato dell'origine).
Se però io voglio fare l'integrale tra una curva spezzata che colleghi ad esempio i punti (0,1) e (1,2) vediamo che la discontinuità nell'origine non ci tocca. Allora la domanda è, in questo caso la forma può essere considerata esatta (avevamo già detto che era chiusa)?
E se io integrassi su (0,1)->(1,2)->(0,1) il suo integrale sarebbe nullo?

[Frink]

Questa è una proprietà delle forme differenziali chiuse, non serve che siano esatte.

Ho scritto esatte e intendevo chiuse, chiedo perdono (peraltro, per le esatte sarebbe una tautologia).

avendo a che fare con una forma chiusa del tipo: $ \omega= {A(x,y)}/{x^2+y^2} dx+{B(x,y)}/{x^2+y^2}dy $ vediamo che non è definita su un insieme semplicemente connesso (è definita in R2 privato dell'origine).

Mi ricorda la forma argomento, definita come $\omega(x,y)=\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy$.

Questa forma è chiusa ma non esatta, e la sua circuitazione lungo una curva chiusa qualsiasi attorno all'origine vale $2\pi$.

Se scelgo una curva chiusa che non "contiene" l'origine, che non si avvolge intorno all'origine, la forma argomento (e così qualsiasi altra forma di questo tipo) ha circuitazione nulla, ossia è localmente esatta.

D'altronde $\mathbb{R}^2-{0}$ si può scindere in componenti semplicemente connesse, e se la curva è contenuta in una di queste ci si può restringere e studiarla su quel dominio, con tutte le conseguenze dell'esattezza del caso.

[pollo93]

Quindi se ho ben capito l'esattezza è una proprietà locale. Le forme sono esatte in punti e tanti punti formano un insieme, è così?
Mi aspettavo invece il contrario, cioè che l'esattezza fosse una proprietà valida su insieme e che se verificata la si può sfruttare per ridurre il problema (ad esempio il calcolo di integrali) a pochi (2) punti.
Anche perchè come hai detto tu altrimenti qualsiasi dominio si può scindere in domini semplicemente connessi e quindi significherebbe che di fatto qualunque forma chiusa è localmente esatta.

Poi non ho capito il problema dell' "avvolgersi".
Che differenza c'è tra circuitare su una circonferenza di raggio R nell'origine e una curva che non avvolge l'origine. In ogni caso lungo il mio tragitto io non passo mai da (0,0). Immagino che la differenza sia legata alla definizione di "semplice connessione", però torniamo alla questione sopra...

[Frink]

Anche perché come hai detto tu altrimenti qualsiasi dominio si può scindere in domini semplicemente connessi e quindi significherebbe che di fatto qualunque forma chiusa è localmente esatta.

Eh no! O meglio, sì, ma non serve ai nostri propositi. Sempre per utilizzare l'esempio di cui sopra, consideriamo la forma argomento su $\mathbb{R}^2-{0}$. Il dominio può essere scisso in componenti connesse, quindi su ciascuna di esse la forma è esatta. Ma attenzione, su ciascuna componente: se prendo un cammino che passa per due componenti semplicemente connesse diverse, la forma non si comporta come una forma esatta.
Esempio: circuitiamo la forma argomento sulla circonferenza di centro $(2,0)$ di raggio $1$. Questo percorso, questo cammino è contenuto tutto in $\mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}$ che è semplicemente connessa. Infatti, la circuitazione, una volta effettuati i calcoli, si vede essere nulla: su questo cammino la forma è esatta.
Ora circuitiamo la stessa forma sulla circonferenza di centro $(0,0)$ e raggio $1$. Effettuati i calcoli otteniamo appunto $2\pi$ (se percorsa una volta, se percorsa $n$ volte avremmo $2n\pi$). Questo perché quella circonferenza non può essere contenuta in una sola componente semplicemente connessa.

Quindi se ho ben capito l'esattezza è una proprietà locale. Le forme sono esatte in punti e tanti punti formano un insieme, è così?
Mi aspettavo invece il contrario, cioè che l'esattezza fosse una proprietà valida su insieme e che se verificata la si può sfruttare per ridurre il problema (ad esempio il calcolo di integrali) a pochi (2) punti.

Infatti è così, è una proprietà dell'insieme, che si riflette sui cammini in esso contenuti (vedi sopra).

Poi non ho capito il problema dell' "avvolgersi".
Che differenza c'è tra circuitare su una circonferenza di raggio R nell'origine e una curva che non avvolge l'origine. In ogni caso lungo il mio tragitto io non passo mai da (0,0). Immagino che la differenza sia legata alla definizione di "semplice connessione", però torniamo alla questione sopra...

E' esattamente così, la differenza è legata alla definizione di insieme semplicemente connesso, che intuitivamente è detto "senza buchi". Infatti, se scelgo un cammino continuo (l'ho sempre sottinteso, ma si parla di cammini continui) che si avvolge intorno all'origine, non mi è possibile trasformarlo con un omotopia in un punto, perché c'è quel buco in $(0,0)$.
Questo problema non si presenta con l'altra circonferenza che non circonda il buco, infatti quella è effettivamente omotopa a un punto.

[pollo93]

Ok ho capito, graziemille!
Però allora adesso mi resta il problema:
http://www.mat.unimi.it/users/terraneo/formediff.pdf
(esercizio 6)

non esiste nessun modo per farlo in maniera intelligente? bisogna per forza parametrizzare con delle rette, moltiplicare per la derivata e integrare con la formula bruta per 6 volte e trovare in teoria un numero diverso di zero.

[dissonance]

Se la forma differenziale è chiusa si può sostituire un cammino di integrazione con un altro ad esso omotopo. Quindi invece di quella porcheria di poligono si può prendere un cammino molto più smooth.

[pollo93]

Come ad esempio una bella circonferenza nell'origine, giusto?