Identità Goniometriche

[MattiaAlexi]

allora il termine a destra è ora
$1/2*((sin^2a+cos^2a)/(cos^2a))+(sena)/(cosa)$

a sinistra diventa $(1+2senacosa)/(1+cos^a-sen^a)$

fin qui giusto?

[MattiaAlexi]

Oppure prendi il primo membro
$(1+sen2a)/(1+cos2a) = $ applichi la duplicazione
$=(1+2sinacos a)/(1+2cos^2a-1) = $ consideri la prima relazione fondamentale e trasformi $1=sin^2 a+cos^2 a$
$=(sin^2 a+cos^2 a+2sinacos a)/(2cos^2a) = $ riconosci il quadrato a numeratore
$=(sin a+ cos a)^2/(2cos^2 a)=$ due conti
$=1/2((sina+cos a)/cos a)^2=$ spezzi la frazione
$= 1/2 (sin a/cos a +1)^2=1/2 (tan a +1)^2$

scusa ma non riesco a capire esattamente secondo quale passaggio
$=(1+2sinacos a)/(1+2cos^2a-1) $

[minomic]

Basta applicare le formule di duplicazione
$sin 2alpha = 2sin alpha cos alpha$
$cos 2alpha=cos^2 alpha - sin^2 alpha=2cos^2 alpha -1 = 1-2sin^2 alpha$.
Della seconda formula @melia ha scelto di usare la seconda versione perchè ha visto che era la migliore per questo esercizio.

[MattiaAlexi]

ahn ok, a me era stato insegnato che $cos2a=cos^2a-sen^2a$

[minomic]

Giusto, però se applichi la fondamentale, cioè $sin^2 alpha + cos^2 alpha=1$ e sostituisci trovi anche le altre due.

[MattiaAlexi]

quindi io in base alla situazione posso usare si $1-2sen^a$ sia $2cos^2a-1$ ?

[minomic]

Certo, oltre alla solita $cos^2 alpha - sin^2 alpha$ che ha il vantaggio di essere una differenza di quadrati $(cos alpha+sin alpha)*(cos alpha-sin alpha)$ e a volte questo torna utile per qualche semplificazione.

[MattiaAlexi]

grazie mille davvero, spero di riuscire bene nei prossimi compiti!

[giammaria]

Si potevano anche usare a primo membro le formule parametriche, che nel nostro caso diventavano

${(sin2alpha=(2tgalpha)/(1+tg^2alpha)), (cos 2alpha=(1-tg^2alpha)/(1+tg^2alpha)):}$
Basta poi fare i calcoli.