Funzione a due variabili: gradiente, punti critici, Hessiana

[frons79]

Ciao a tutti mi sono arenato su questo problema che riguarda una funzione in due variabili.

Sia \(\displaystyle f(x,y)=kx^2-36y+3y^3 \) con \(\displaystyle k \in \mathbb{R}, k \ne 0 \).
Calcolare:
[*] gradiente
[*] punti critici
[*] matrice Hessiana

Discutere inoltre circa l'esistenza di:
[*]punti di massimo
[*]punti di minimo
[*]sella
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Per il primo punto mi sono calcolato le due derivate parziali, che sono, rispettivamente
\(\displaystyle f_x(x,y)=2kx \)
\(\displaystyle f_y(x,y)=9(y^2-4) \)

Per il secondo punto dovrei costruire un sistema nel quale le due equazioni di gradiente sono uguali a zero (dalla teoria), ma non so come procedere in pratica, poiché ad esempio eguagliando a zero la prima equazione di gradiente, verrebbe \(\displaystyle x=0 \) che va contro le condizioni imposte dall'esercizio.
Come è giusto procedere, invece?

[dissonance]

Perché sarebbe "contro le condizioni imposte dall'esercizio"?!? Continua come stai facendo, è giusto, vai tranquillo.

[cheetan]

Perché sarebbe "contro le condizioni imposte dall'esercizio"?!? Continua come stai facendo, è giusto, vai tranquillo.

Infatti le condizioni dell'esercizio sono $k!=0"$ mi sa che frons si sia confuso con i simboli.

[frons79]

Perché sarebbe "contro le condizioni imposte dall'esercizio"?!? Continua come stai facendo, è giusto, vai tranquillo.

Infatti le condizioni dell'esercizio sono $k!=0"$ mi sa che frons si sia confuso con i simboli.

SI infatti pur avendo scritto bene le condizioni, non so perché ma ho preso un abbaglio e vi ho letto \(\displaystyle x \ne 0 \)

Comunque, ritornando in tema,

\[
\begin{cases}
f_x(x,y)=2kx=0 \Rightarrow x=0\\
f_y(x,y)=9(y^2−4)=0 \Rightarrow y_{1,2}=\pm\sqrt{2}
\end{cases}
\]

Quindi i punti critici sarebbero: \(\displaystyle P_1 (0;\sqrt{2}); P_2 (0;-\sqrt{2}) \) ?
E la matrice Hessiana è corretto che sia \[
\begin{vmatrix}
2k & 0 \\
0 & 18y
\end{vmatrix}
\]