Solenoidi concatenati: energia magnetica

Buonanotte, sono alle prese con l'ultima domanda di questo esercizio d'esame.

Domani con calma scrivo il testo del problema, che è il seguente:




Per i primi tre punti non , ci sono problemi, e ho avuto modo di constare la correttezza dei risultati

Quello che mi preme è capire bene l'ultimo

4. Come al solito, utilizzo il teorema di Ampère, tenendo presente che ogni solenoide possiede campo magnetico solo al suo interno, mentre all'esterno questo è nullo.

Nella regione interna al primo, che dirò $r<R_2$, ho $B(r)=\mu_0 n (i_2+i)$
Nella regione tra i due solenoidi, c'è la presenza del solo campo magnetico generato dal solenoide di raggio $R=10 cm$, pertanto $B(r)=\mu_0 n i $.

Per $r>R$, ovviamente $B(r)=0 T$.

A seconda della regione, calcolo l'energia magnetica per unità di lunghezza, cioè considero la quantità $u_m=(B^2(r))/(2 \mu_0*L)$, con $L$ lunghezza del solenoide.

Ora viene in bello, nel senso che non so se sto facendo giusto. Per trovare l'espressione dell'energia devo integrare sul volumetto $d\tau$. Pongo $d \tau=\pi Rl dr$, e pertanto devo risolvere, per esempio per $r<R_2$:

$ \int_{0}^{R_2}(B^2(r))/(2 \mu_0 L) \pi R_2L dr=(\mu_0pin^2(i+i_2)^2 R_{2}^{2})/2 $

Analogamente per l'altra regione dove c'è campo. Va bene oppure sbaglio qualcosa? Grazie per l'attenzione, qualsiasi consiglio o suggerimento è ben gradito

Sarei curioso di sapere da dove arrivano questi tuoi problemi, anche in questo caso manca un dato, ovvero il verso della corrente nel secondo solenoide¹.

Di conseguenza per rispondere al punto 4 dovrai essere tu a distinguere fra i due casi possibili.

Per quanto riguarda i calcoli, visto che il campo può essere ritenuto costante internamente ai solenoidi, non serve scomodare un integrale per l'energia, ma basta un prodotto fra energia specifica e volume; ... e in questo caso, passare per l'integrale ti ha fatto sbagliare "qualcosa", lascio a te scoprire l'errore, ... ma forse sono solo errori di battitura, visto il risultato finale

BTW Non è bello veder vedere una energia specifica ... per unità di lunghezza.

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Note

1. E inoltre manca il numero di spire per unità di lunghezza. ↑

Rieccomi! Grazie della risposta innanzitutto. Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).

In effetti, essendo $B(r)$ una quantità costante, basta moltiplicare per il volume del cilindro indefinito di lunghezza $L$ e raggio $R_2$, ottenendo, nella regione $r<R_2$:

$\tau= \pi R_2^2 L$. Quindi ho che l'energia magnetica è data da $U_m=(\mu_0 n^2 (i+i_2)^2 \pi R_2^2)/2$

Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?

... Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).

Chi lo dice? Nel testo non lo vedo specificato; a mio parere devi quindi considerare sia il caso che i campi siano concordi sia che siano discordi.

... Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?

Si, ed inoltre sotto l'integrale ci va il raggio generico $r$, non $R_2$.

... Il verso di entrambe le correnti è positivo (concorde con l'asse $z$ diciamo).

Chi lo dice? Nel testo non lo vedo specificato; a mio parere devi quindi considerare sia il caso che i campi siano concorsi sia che siano discordi.

Effettivamente lì non c'e scritto, però so che all'esame aveva detto di considerarla verso l'alto Altrimenti, dovrei sommare algebricamente le due correnti, ottenendo espressioni diverse per $B(r)$: per esempio, per $i$ verso l'alto e $i_2$ verso il basso, nella regione di raggio $r<R_2$, otterrei: $B(r)=\mu_0 n (i-1_2)$.

[

... Non sono molto sicuro dell'elemento di volume infinitesimo che ho usato però... è lì il mio errore?

Si, ed inoltre sotto l'integrale ci va il raggio generico $r$, non $R_2$.

Quindi $d\tau=\pi r L dr$: sbaglio spesso questi elementi infintesimi

Ho un'altra domanda però: guardando sul libro, e su internet, non capisco la differenza tra Energia intrinseca della corrente e Energia magnetica.
Infatti nel punto 3. dell'esercizio ho dovuto usare l'espressione $U_L=1/2 L i^2$ ($L$ coefficiente di autoinduzione), per trovare l'energia immagazzinata nel solenoide.

Che differenza c'è tra quella calcolata nel punto 4. ?
So che la seconda si ricava dalla prima; inoltre mi pare che la seconda, essendo un integrale di volume, è una localizzazione della prima nello spazio.