definizione di differenziale

Salve,
la definizione di differenziale comune sui testi come è noto è la seguente $df=f'\Deltax$
domanda:
1) a sinistra abbiamo una quantità infinitesima a destra finita!!!
poi si dice che applicando ad esempio la definizione alla particolare funzione $y=x$
si scopre che $\Deltax=dx$ cioè una quantià finita è uguale ad una finita?
2) poi si estende questo risultato ottenuto da un "caso particolare" al caso generale e si pone
$df=f' dx$ , ma come si fa a generalizzare? se usiamo una funzione diversa ad es $y=x^2$ non sarà più vero che $\Deltax=dx$.
Chiedo cortersemente un aiuto a capire.

Ciao credo che hai postato nella sezione sbagliata, per questo nessuno ti risponde (io non so risponderti )

Questo ti può aiutare:
viewtopic.php?f=36&t=180900

Innanzitutto, non esistono quantità infinitesime in $RR$... Una delle prime dimostrazioni che si affronta è quella di provare l'implicazione:
\[
\forall \varepsilon >0,\ |x|<\varepsilon\quad \Leftrightarrow\quad x=0\; ,
\]
che mostra che in $RR$ non esistono elementi aventi la proprietà di essere infinitesimi, ossia quella di essere in valore assoluto minori di ogni numero positivo.

Poi, il differenziale cos'è?
È un'applicazione lineare $phi_{x_0}(x):=mx$ che gode della proprietà di approssimare al primo ordine la variazione della funzione attorno ad un punto $x_0$, cioè tale che:
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)-m(x-x_0)}{x-x_0}=0\; .
\]
Quindi gli infinitesimi non c'entrano niente di niente.

Il fatto è che $dx$ non ha il signuficato di "variazione infinitesima" che si attribuisce in corsi non di analisi matematica, è solo una notazione.

Grazie tanto, penso che la mia difficltà era soprattuto nel non aver compreso che in effetti il dx non è affatto una quantità infinitesima.

Io ho letto che ci sono degli "$RR$ non standard", cioè che ammettono infinitesimi. Oppure non centra niente?

No, quella è la cosiddetta "analisi non standard" che è tutt'altra cosa...il termine "infinitesimo", (a meno che non riguardi l'ordine di infinitesimo, che ha una ben precisa definizione) non esiste in matematica e in qualsiasi altra cosa, non esiste niente di infinitesimo, ogni volta che lo hai sentito dire si è trattato di un uso improprio, invece di "infinitesimo" l'aggettivo giusto è "piccolo" (per esempio in meccanica dei continui non si dice "deformazioni infinitesime" ma "piccole deformazioni"...perché una deformazione di 4-5 mm non è di certo infinitesima...)

Il fatto è che $dx$ non ha il signuficato di "variazione infinitesima" che si attribuisce in corsi non di analisi matematica, è solo una notazione.

A voler essere precisi mx è l'azione lineare del differenziale che nel caso unidimensionale è un numero ovvero una matrice 1x1. Confondere azione e rappresentazione potrebbe causare problemi nei successivi corsi di analisi.

eh?