da dissonance » 06/02/2018, 14:09
Ogni tanto continuo a pensare a questo problema. Abbiamo parlato del teorema tratto da Folland, che a parole dice:
prendendo una funzione \(\phi\in L^1(\mathbb R^d)\) che integra a \(1\), e definendo
\[\tag{1}
\phi_n(x):=n^d \phi(nx)=n^d \phi(\underbrace{x+x+\ldots + x}_{n\ \text{volte}}), \]
otteniamo una successione di funzioni con la proprietà che per ogni \(f\in L^\infty\) la convoluzione \(\phi_n \ast f \) converge ad \(f\) in tutti i suoi punti di Lebesgue \(^{[1]}\). (Queste successioni si dicono spesso "approssimanti dell'unità").
L'esercizio in questione assomiglia molto a questo enunciato, solo che la successione \(\phi_n\) non è ottenuta per riscalamento come in Folland. Tuttavia ci si riconduce al Folland con un cambio di variabile esponenziale.
La ragione per tutto questo è che in effetti l'esercizio in questione è essenzialmente un caso particolare del teorema del Folland a patto di sostituire il concetto di convoluzione per quello di "convoluzione moltiplicativa". Più precisamente, invece di considerare il gruppo delle traslazioni \((\mathbb R^d, +)\), bisogna considerare quello delle dilatazioni \((\mathbb R_{>0},\, \cdot)\), e invece della misura di Lebesgue su \(\mathbb R^d\), che è invariante per traslazioni, la misura \(\frac{dt}{t}\) su \(\mathbb R_{>0}\), che è invariante per "traslazioni moltiplicative": \(t\mapsto at\), per un \(a>0\).
Cominciamo ad osservare che la funzione \(^{[2]}\)
\[\tag{2}
t\mathbf 1_{0<t<1}
\]
integra a \(1\) rispetto a tale misura, ovviamente:
\[
\int_0^\infty t \mathbf 1_{0<t<1} \frac{dt}{t}=\int_0^1\, dt=1.\]
In questo nuovo contesto, il riscalamento (1) va sostituito con
\[
\phi_n(t):=n\phi(t^n), \]
che infatti è tale che \(\int_0^\infty \phi_n(t)\, \frac{dt}{t} =\int_0^\infty \phi(t)\, \frac{dt}{t} .\) La convoluzione, invece, va sostituita con
\[
f\star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} g (t)= \int_0^\infty f(ts^{-1})g(s)\frac{ds}{s}. \]
Il risultato generale analogo a quello di Folland, allora, sarebbe questo (modulo qualche \(\epsilon\) di ipotesi):
Risultato tipo-Folland moltiplicativo (congettura). Per ogni \(f\in L^\infty(0, \infty)\) e per ogni funzione \(\phi\in L^1(0, \infty, \frac{dt}{t})\) si ha che
\[
f\star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} \phi_n (x)\to f(x)
\]
se \(x\) è un punto di Lebesgue di \(f\).
(Dico "sarebbe" perché non lo saprei dimostrare. Inoltre, sicuramente ci vuole qualche \(\epsilon\)-ipotesi di decadimento e roba simile).
L'esercizio di questo post si riformula, con questo nuovo linguaggio, come segue: Presa \(\phi(t)=t\mathbf 1_{0<t<1}\), si ha che
\[
\big(\phi_n \star_{(\mathbb R_{>0}, \cdot)} f\big)(1)\to f(1)
\]
se e solo se \(1\) è un punto di Lebesgue per \(f\in L^\infty(0,1)\).
Ecco perché quantomeno l'implicazione "se" di questo esercizio è un caso particolare della congettura "di tipo Folland moltiplicativa". Sarebbe anche interessante vedere se il "solo se" vale in generale. Immagino di si (modulo le solite \(\epsilon\) ipotesi).
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[1] Il punto \(x_0\in\mathbb R^d\) è di Lebesgue per \(f\) se
\[
\lim_{r\downarrow 0} \frac{1}{|B(x_0, r)|}\int_{B(x_0, r)} |f(x)-f(x_0)|\, dx \to 0.\]
Nel caso moltiplicativo, il punto \(t_0\in \mathbb R_{>0}\) è di Lebesgue per \(f\) se
\[
\lim_{r\downarrow 0} \frac{1}{\int_{|t-t_0|< r} \frac{dt}{t} } \int_{|t-t_0|<r} |f(t)-f(t_0)|\frac{dt}{t} \to 0.\]
Essendo una proprietà locale, le due condizioni sono equivalenti, non c'è bisogno di distinguere tra "punto di Lebesgue additivo" e "punto di Lebesgue moltiplicativo". Infatti, nella traccia dell'esercizio compare la definizione di punto di Lebesgue "additivo", anche se in effetti siamo in un contesto moltiplicativo.
[2] Probabilmente è più naturale considerare la funzione
\[
\phi(t):=\frac12 \begin{cases} t, & 0<t\le 1 \\ \frac{1}{t}, & 1<t,\end{cases} \]
che è invariante rispetto all'inversione: \(\phi(t^{-1})=\phi(t)\), esattamente come nel caso additivo si considerano di solito funzioni simmetriche rispetto all'origine, ovvero tali che \(g(-x)=g(x)\).