chi è $dx$?

il titolo dato al post era anche il titolo di dispensine che distribuivo agli studenti

questo post nasce da un altro thread:

Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...

Cosa vuol dire? Io la prima cosa che raccomando agli studenti appena introduco gli integrali è non dimenticarsene perché non è un oggetto ornamentale ma necessario, anche perché quando si integra per sostituzione si possono fare erroracci di tutti i tipi se lo si dimentica...

Data $f:\RR -> \RR$, se e' integrabile su $[a,b]$ il suo integrale dipende da: $f$ e $[a,b]$.
Quindi una notazione decente sarebbe: $I(f,[a,b])$

qualcuno vede dei $dx$ in giro?


EDIT: corretto il titolo, era saltata una "h"

Ultima modifica di Fioravante Patrone il 24/06/2009, 18:32, modificato 2 volte in totale.

Secondo me il $dx$ diventa fondamentale quando si integra una funzione di più variabili oppure una funzione di una variabile con dei parametri. Ad esempio, si vuole integrare $e^(-alpha^2x^2)$ su $RR$. Se non si mette il $dx$ non si capisce quale sia la variabile di integrazione e quale sia il parametro.

non posso ancora espormi sull'argomento, ricordo solo che pochi mesi fa, quando ho studiato gli integrali in quinta liceo, non riuscivo a capire completamente la ragion d'essere del $dx$, ma la prof tentò più volte di farne capire l'importanza...solo che non sono riuscito a capirla a fondo....bah vediamo se nei prossimi 5 anni (almeno) di studi matematici riuscirò a farmene un'idea più chiara...

Anche Leibniz fu combattuto sull'utilizzo o meno del $dx$. All'inizio non lo indicava mai, ma poi resosi conto della sua importanza scrisse:

Raccomando di fare attenzione a non omettere $dx$, ..., errore frequentemente commesso e che impedisce di andare oltre, poichè si privano questi indivisibili, come qui $dx$, della loro generalità... dalla quale nascono innumerevoli trasfigurazioni ed equipollenze di figure

Effettivamente il $dx$ risolve le problematiche relative ai cambiamenti di variabile e come dice Kroldar è un indicatore fondamentale. Inoltre facilita l'integrazione per sostituzione.

L'uso del $dx$ nei cambiamenti di variabile e' solo un macchinario formale che non ha alcun significato di per se.
Sarebbe meglio pensare al cambiamento di variabile come all'applicazione della regola di derivazione per
funzioni composte, anche se con il $dx$ risulta certamente piu' "mnemonico".
Avevo letto un esempio che mostrava che questo trucchetto formale fallisce in generale... purtroppo
non me lo ricordo

a me il dx dentro piace perchè mi fa capire bene che sto facendo una somma infinita di rettangoli la cui area è il prodotto dell'altezza $f(x)$ per la base infinitesima dx.

Ok. Allora vi rimando all'analisi non standard, in cui si dà rigore a questo $dx$. Un'esposizione succinta ed elementare ma rigorosa la trovate qui http://www.unipv.it/webphilos_lab/dossena/

selezionate "introduzione all'analisi non standard" se volete qualcosa di discorsivo e/o "un modello dei numeri iperreali" se volete qualcosa di rigoroso ma elementare.

Intuitivamente, comunque, è qualcosa di minore di ogni $1/n$ ma diverso da 0.

a me il dx dentro piace perchè mi fa capire bene che sto facendo una somma infinita di rettangoli la cui area è il prodotto dell'altezza $f(x)$ per la base infinitesima dx.

In effetti, quando -tempo fa- mi ero posto anche io la questione, avevo cercato sui libri la spiegazione più ricorrente era proprio questa.
Poi, però, ho cercato di trovare in modo "autonomo" una spiegazione. Vediamo se riesco a spiegarmi bene: partiamo dal fatto che l'operazione di integrazione è inversa a quella di derivazione, un po' come la moltiplicazione e la divisione.
Esaminiamo la scrittura $int(g(x)dx)$: in tutti i testi di analisi si trovano tonnellate di esercizi che chiedono di "calcolare i seguenti integrali" o di "trovare le primitive". Bene, per risolvere l'integrale $intg(x)dx$ dobbiamo cercare quella funzione $y(x)$ tale che $y'=g(x)$; questa è una semplice equazione differenziale (a variabili separabili).
Infatti, la funzione derivata a primo membro può essere riscritta (mediante la notazione di Leibniz, vale a dire come rapporto di differenziali) come $(dy)/(dx)=g(x)$ cioè $dy=g(x)dx$; da qui, per successiva integrazione si trae $intdy=intg(x)dx$, cioè $y=intg(x)dx$.

Resta così giustificato in un certo senso la presenza di quel famoso $dx$.

Spero di non aver detto mostruosità (nè di aver applicato l'urang-utang, vero Fioravante?! ).

Paolo

il titolo dato al post era anche il titolo di dispensine che distribuivo agli studenti

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Insomma, e' come il "dx" dentro gli integrali, che c'entra come i cavoli a merenda. Ma e' tanto comodo...

Cosa vuol dire? Io la prima cosa che raccomando agli studenti appena introduco gli integrali è non dimenticarsene perché non è un oggetto ornamentale ma necessario, anche perché quando si integra per sostituzione si possono fare erroracci di tutti i tipi se lo si dimentica...

Data $f:\RR -> \RR$, se e' integrabile su $[a,b]$ il suo integrale dipende da: $f$ e $[a,b]$.
Quindi una notazione decente sarebbe: $I(f,[a,b])$

qualcuno vede dei $dx$ in giro?

Concordo con Fioravante, naturalmente. Quel "dx" è solo una notazione, utile quanto si vuole, ma niente di più. Un po' come scrivere che la derivata è il "rapporto" $dy/dx$: può essere comodo (ma anche fonte di confusione), ma è solo una notazione.

Forse non è facile farlo capire agli studenti.