Aiuto con questo problema di geometria analitica.

Scrivi le equazioni delle rette t1 e t2 tangenti alla parabola di equazione $x=1/2y^2-2y$ e passanti per $P(-2;3)$
Io avevo pensato di fare cosi:
1) trovo l'equazione del fascio di rette:
$y-3 = m(x+2) ---> y= mx+2m+3$
2)poi isolo il termine con la x:
$x = (-y+2m+3)/m$
3) metto a sistema con l'equazione della parabola:
${x = 1/2y^2-2y$
${x = (-y+2m+3)/m$
4) risolvo il sistema con il metodo del confronto:
$1/2y^2-2y = (-y+2m+3)/m ----> 1/2y^2m+y(-2m+1)-2m-3=0$
ponendo il delta di quest'equazione = 0 esce:
$8m^2+2m+1=0$ ovvero un'equazione di secondo grado con delta negativo e quindi senza soluzioni.
Come mai è sbagliato?

1) trovo l'equazione del fascio di rette:
$y-3 = m(x+2) ---> y= mx+2m+3$
2)poi isolo il termine con la x:
$x = (-y+2m+3)/m$

No: $x = (y-2m-3)/m$

grazie mille

Potreste gentilmente scrivere quanto viene il discriminante? se possibile il procedimento complessivo dell'esercizio. grazie

Il delta viene con un asola soluzione m=1/2
quindi una retta tangente diventa x=2y-8
disegnando la figura si individua l'altra retta tangente alla parabola di equazione x=2 ma se non veniva disegnata come si faceva a capire essendo che il delta aveva un asola soluzione?
Grazie

Se il punto P appartiene alla parabola c'è una sola tangente, se è interno non ce ne sono, se è esterno ce ne sono due.
Per risolvere il problema è stata usata l'equazione generale della retta nella forma $y=mx+q$ che non rappresenta tutte le rette del piano, mancano quelle nella forma $x= h$

Il punto P è esterno alla parabola (quindi ci devono essere due tangenti), hai ottenuto una sola tangente utilizzando la forma $y=mx+q$, perciò l'altra tangente passa per P ed è della forma $x=h$, quindi $x=2$