Ciao,
si esiste una dimostrazione che contiene un integrale doppio in coordinate polari
come sempre quando si calcola un volume, si deve integrale la grandezza $1$ su una superficie determinata.
in questo caso la superficie è data da $-R <= x <= R; y < +- sqrt( R^2-x^2)$
ovvero
\( \displaystyle \displaystyle A = \int_{-R}^{R} \int_{- \sqrt{ R^{2}-x^{2}}}^{\sqrt{ R^{2}-x^{2}}} 1 dx dy \)
che, calcolato in questo modo, è abbastanza antipatico.
Il metodo più semplice è cambiare il tipo di coordinate e passare alle coordinate polari
$x= rho cos(phi)$
$y= rho sin(phi)$
quando calcoli un integrale nel quale effettui un cambio di coordinate, devi con moltiplicare la funzione integranda per il determinante della matrice jacobiana, ovvero ma matrice formata dalle derivate parziali della trasformazione delle coordinate
Chiamo $J$ la matrice
$J = ( ( d/(d\rho)x , d/(d\phi)\x ),( d/(d\rho)y , d/(d\phi)\y ) ) = ( ( d/(d\rho)(rho cos(phi)) , d/(d\phi)\(rho cos(phi)) ),( d/(d\rho)(rho sin(phi)) , d/(d\phi)\(rho sin(phi)) ) ) = ( ( cos(phi) , -rho sin(phi) ),( sin(phi) , rho cos(phi) ) ) $
di cui, se calcoliamo il determinante, abbiamo
$|J| = rho cos^2(phi) + rho sin^2(phi) = rho (cos^2(phi) + sin^2(phi)) = rho$
nel nostro cerchio, abbiamo $rho$ che rappresenta il raggio mentre $phi$ è l'angolo di rotazione; pertanto, per coprire tutta la superficie del cerchio ci serve che $0 <= rho <= R$ e che $0 <= phi <= 2 pi$
quindi l'integrale di prima diventa
\( \displaystyle \displaystyle A = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} 1 \cdot |J| d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi \)
quindi calcolando prima l'integrale rispetto a $phi$ quindi considerando tutto c'ò che non ha a che fare con $phi$ come una costante abbiamo
\( \displaystyle \displaystyle A =\int_{0}^{R} \int_{0}^{2\pi} \rho d\rho d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho \int_{0}^{2\pi} d\phi = \int_{0}^{R} \rho d\rho (phi)_{0}^{2\pi} = 2\pi \int_{0}^{R} \rho d\rho \)
infine calcolando l'integrale rispetto a $rho$
\( \displaystyle \displaystyle A = 2\pi \left(\frac{\rho^{2}}{2}\right)_{0}^{R} = 2\pi \frac{R^{2}}{2} = \pi R^{2} \)
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Summerwind78 il 05/03/2015, 21:17, modificato 2 volte in totale.