Problema incrocio parabola retta parallela e misura corda

Rieccomi con questo fantastico esercizio sulla parabola che però mi lascia.......perplesso.

"data la parabola di equazione $x=2y^2-8y+9$ trovare quale retta, interseca la parabola ed è parallela alla retta $2y=x$, definisce una corda lunga $3sqrt(5)$ "

parto per gradi.
trovo il coefficiente angolare della retta $y=1/2x$
$m=1/2$
a questo punto dovrei incrociare una generica retta parallela a $y=1/2x$ che differisce da quest'ultima solo per il punto d'incontro con l'asse y.
Pertanto dovrei impostare un sistema dove incrocio parabola con asse orizzontale e generica retta:

$ { ( x=2y^2-8y+9 ),( y=1/2x+q ):} $


tra le due decido di sostituire la x della prima equazione alla seconda.

trovo:
$y=1/2(y^2-8y+9)+q$
$y=1/2y^2-4y+9/2+q$
$1/2y^2-5y+9/2+q=0$
$y^2-10y+9+2q=0$

risolvendo trovo i due punti di incontro della generica retta con la parabola.
poi sostituendo il valore della y trovo i due valori corrispondenti della x e ho ottenuto i due punti d'incontro
"generici" contenenti il parametro q.
a questo punto imposto che la distanza tra i due punti sia uguale a $3sqrt(5)$
è corretto come modo di procedere o ci sono soluzioni più veloci?
Grazie

Il metodo che hai descritto va benissimo, ma al solito occhio quando sostituisci, non dimenticare pezzi.