21/07/2008, 02:40
Iniziamo col dimostrare la seguente proprietà ottica dell'ellisse. Per ogni punto $P$ di una ellisse di fuochi $F_1 , F_2$ la retta tangente in $P$ forma angoli uguali con i segmenti $F_1 P$ e $F_2P$.
Sia infatti $b$ la bisettrice di $\hat{F_1 P F_2}$ e sia $t$ la sua perpendicolare in $P$. Se $t$ avesse un ulteriore intersezione $Q$ con l'ellisse si consideri il simmetrico $F'$ di $F_2$ rispetto a $t$; poiché i due triangoli $PF_2 Q$, $PF' Q$ hanno i tre lati uguali (la retta $t$ è asse di $F_2 F'$) essi sono uguali e quindi $\hat{QPF'}=\hat{QPF_2}$, il quale per ipotesi è uguale a $\hat{F_1 P t}$. Ne segue che i punti $F_1, P, F'$ sono allineati e quindi per la disuguaglianza triangolare si avrebbe
$F_1 Q + QF_2 = F_1Q + QF' > F_1 P + PF'= F_1 P + PF_2$
mentre, essendo $P$ e $Q$ punti dell'ellisse, si ha
$F_1 Q + QF_2 = F_1 P + PF_2$.
Abbiamo così provato che la retta $t$ ha un unico punto in comune con l'ellisse, quindi ne è la tangente in $P$ ed essa forma angoli uguali con le rette che congiungono $P$ con i fuochi
21/07/2008, 08:02
21/07/2008, 09:54
21/07/2008, 10:36
21/07/2008, 11:02
DavideV ha scritto:Come hai visto anche tu, la dimostrazione per assurdo prova che la tangente $t$ è perpendicolare alla semiretta $b$. Ok?
21/07/2008, 11:14
21/07/2008, 11:23
DavideV ha scritto:La dimostrazione è infatti invertibile senza particolari dimostrazioni, se $t$ è perpendicolare a $b$, allora $b$ è perpendicolare a $t$.
21/07/2008, 12:17
21/07/2008, 12:45
22/07/2008, 13:37
DavideV ha scritto:Se la perpendicolare alla bisettrice è tangente, la tangente è perpendicolare alla bisettrice... due rette perpendicolari tra loro, tutto qui...
adaBTTLS ha scritto:quello che hanno dimostrato è:
preso un generico punto P dell'ellisse, se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse.
solo questo hanno dimostrato
adaBTTLS ha scritto:... però forse era troppo complicato procedere in maniera rigorosa a dimostrare la tesi, per cui si è proceduto in maniera "operativa"... non è del tutto sbagliato, ma la dimostrazione va completata.
abbiamo detto [cito me stessa] "se esiste una retta (distinta dalla bistettrice di F1PF2) che forma angoli uguali con i segmenti F1P ed F2P, questa è tangente in P all'ellisse".
in realtà una tale retta esiste ed è unica (questo è stato provato nel corso della dimostrazione), perché si tratta della perpendicolare alla bisettrice dell'angolo F1PF2.
a questo punto in maniera piuttosto occulta si è usato la proprietà dell'esistenza e unicità della tangente, concludendo che la tangente t in P è la perpendicolare alla bisettrice b, e dunque forma angoli uguali con i segmenti F1P e F2P...
che ne pensi? ciao.
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