Esercizio arcocoseno

Ecco l'esercizio sul quale non mi trovo, portato dal testo nella sezione "Le Formule di Bisezione", che peraltro stiamo studiando, e nel quale però non mi pare esse si debbano applicare:

$sen(1/2 arccos (4/5))$ , $cos(1/2 arcsen 3/5)$.

Occupiamoci della prima parte, la seconda poi dovrebbe venire di conseguenza.
Tutto sta, ovviamente, a sviluppare l'arcocoseno di $4/5$. So che l'arcocoseno di $4/5$ è l'angolo il cui coseno corrisponde a $4/5$. Come faccio però a sviluppare il tutto?
Finora gli esercizi affrontati con le funzioni goniometriche inverse riguardavano, tutti, gli angoli particolari, per cui era chiaro che l'arcocoseno di $1/2$ (corrispondendo all'angolo che ha come coseno $1/2$) era 60°.
Come dovrei procedere?

Grazie anticipatamente.

Provo a farti il primo, il secondo te lo lascio per esercizio.

Vale $0 < \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{2}$, quindi $0 < \frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{4}$, di conseguenza $\sin(\frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5})) > 0$. Sfruttando le formule di bisezione, secondo cui $\sin(x) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{2}}$ si può scrivere

$\sin(\frac{1}{2} \arccos(\frac{4}{5})) = + \sqrt{\frac{1 - \cos(\arccos(\frac{4}{5}))}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{4}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{10}}$

Il tutto salvo errori di calcolo.

Forte quest'esercizio, ti dico che io (quinta liceo) non ho mai visto un esercizio così, francamente non so se mi sarebbe venuto in mente come risolverlo...pare che $arcsin$ $arccos$, per non parlare di $sec$, $cosec$ e le loro inverse, siano cadute in disuso al liceo!

Scusa Tipper, come fai a dire che $0<arccos(4/5)<90$?
Mi manca, inoltre, il passaggio dopo il tuo "di conseguenza"....si basa per caso sul fatto che, essendo l'espressione in parentesi nel I quadrante, essa ha seno positivo?

P.S. Non ci sono errori di calcolo nel tuo procedimento, il risultato è proprio $sqrt(10)/10$.

(Sono sempre io, TR0COMI, ma nell'altro account non riesco più ad entrare)

Scusa Tipper, come fai a dire che $0<arccos(4/5)<90$?

L'arcocoseno è una funzione $[-1,1] \to [0, \pi]$ tale che $\arccos(x) < \frac{\pi}{2}$ se $0 \le x < 1$ e $\arccos(x) > \frac{\pi}{2}$ se $-1 \le x < 0$. Intuitivamente, un arco che ha coseno positivo o sta nel primo quadrante o nel quarto. Ma l'arcocoseno ha come codominio $[0, \pi]$, quindi l'angolo cercato deve stare per forza nel primo quadrante, ovvero $0 < \arccos(\frac{4}{5}) < \frac{\pi}{2}$.

Mi manca, inoltre, il passaggio dopo il tuo "di conseguenza"....si basa per caso sul fatto che, essendo l'espressione in parentesi nel I quadrante, essa ha seno positivo?

Sì.

Un'altra cosa: capito il tuo ragionamento per dire che l'arcocoseno è compreso tra zero e novanta gradi; potrei però arrivarci semplicemente mediante la calcolatrice, che ad $arccos (4/5)$ risponde con $36.87$ circa (ovviamente 36 è compreso tra 0 e 90)?

Potresti, ma solo se hai dietro una calcolatrice.

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Moderatore: Mephlip

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