Eguaglianza---Rettangoli isoperimetrici

Buonasera.

Eguaglianza.
Un alunno scrive su un foglio la seguente eguaglianza :
XI+I=X
Quale è il modo più semplice per rendere corretta questa eguaglianza?

Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo

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Eguaglianza
XI-I=X

Per quanto riguarda invece i rettangoli isoperimetrici, ho pensato di considerare tutti i rettangoli di perimetro $P$, considerare un lato in funzione dell'altro (tenendo fisso il perimetro) e poi di trovare la funzione area in funzione del lato variabile.

Più facile a farsi che a dirsi ecco qui.

Siano $a$ e $b$ i lati di un rettangolo di perimetro $P$

$P=2a+2b$

allora $b$ in funzione di $a$ è banalmente

$b=(P-2a)/2$ [1]

dunque l'area $A=a*b$ diventa

$A=1/2a*(P-2a)$ [2]

con $a$ che varia tra $0$ e $P/2$ (estremi esclusi)
questa è la parabola rappresentativa della variazione dell'area in funzione di $a$ di tutti i rettangoli isoperimetrici

possiamo agevolmente calcolarci il massimo di questa parabola (esso vale $A_(max)=1/16 P^2$ per $a=1/4P$ da cui ne consegue $b=1/4P$...insomma un quadrato)

ora, visto che sappiamo che la nostra funzione area assume tutti i valori tra $0$ e $1/16 P^2$ possiamo dunque prendere a nostro piacimento un area $A_1$ in questo range, sostituirla nella [2] e trovare la rispettiva $a$
poi facciamo lo stesso ponendo in questo caso l'area uguale ad n-volte $A_1$ dove n è un numero intero positivo.
L'unica accortezza che bisogna però avere è la seguente:
è necessario infatti che $A_1$ sia sufficientemente piccolo tale che moltiplicandolo per n (intero positivo) non si ottenga un valore superiore a $A_(max)=1/16 P^2$, altrimenti non avremmo soluzioni reali.

Personalmente l'ho fatto per un area pari proprio alla metà dell'area massima e funziona...
ma se funziona per uno, la matematica ci insegna che non è detto che valga per tutti eheh xD
spero comunque che sia corretto...

L'uguaglianza è corretta,

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è l'insegnante che la guarda dalla parte sbagliata.

Per la seconda occorrerebbe sapere a quale insieme numerico devono appartenere le misure dei lati.
Ciao

Rettangoli isoperimetrici

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Ipotizzando che l'area del secondo rettangolo sia il doppio del primo, una possibile soluzione è che il primo misuri $12 times 2$ e l'altro $6 times 8$.

Rettangoli isoperimetrici.
Trovare un rettangolo isoperimetrico ad un altro, e la cui area sia un multiplo dell'area di questo.

Grazie.
aldo

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Possibili soluzioni dei lati (multipli dell'area 2 - 3 - 6 - 8)
3 e 4 | 6 e 1
9 e 4 | 12 e 1
9 e 16 | 24 e 1
9 e 64 | 72 e 1

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Se può interessare (e se ho eseguito correttamente) con questo codice si trovano le corrispondenze per basi e altezze $in NN$ inferiori a 100 - codice in Visual Basic, eseguibile su Excel. I risultati già usciti però possono ricomparire perché si invertono basi e altezze - non ho voglia di affinarlo

Codice:

Option Explicit

Sub Macro1()
Dim B1, H1, P1, B2, H2, P2, A1, A2

H1 = 1

Ritorna:
B1 = 1
B2 = 1


For B1 = B1 To 100
    P1 = 2 * (B1 + H1)
    A1 = B1 * H1
   
    H2 = 1
Ritorna2:
    For B2 = B2 To 100
        P2 = 2 * (B2 + H2)
        A2 = B2 * H2
       
        If P2 = P1 Then
            If (A1 Mod A2 = 0 Or A2 Mod A1 = 0) And A1 <> A2 Then
                MsgBox ("Ho trovato una possibile combinazione!" & vbCrLf & "B1 = " & B1 & vbCrLf & "B2 = " & B2 & vbCrLf & "H1 = " & H1 & vbCrLf & "H2 = " & H2 & vbCrLf & "P1 = " & P1 & vbCrLf & "P2 = " & P2 & vbCrLf & "A1 = " & A1 & vbCrLf & "A2 = " & A2)
            End If
        End If
    Next B2
       
    H2 = H2 + 1
    If H2 <= 100 Then GoTo Ritorna2:
    B2 = 1
Next B1

H1 = H1 + 1
If H1 <= 100 Then GoTo Ritorna
End Sub


Buongiorno.
@fhabbio
Eguaglianza:
la tua risposta è corretta, ma occorre cancellare il $+$ e scrivere il $-$. C'è un modo più semplice.
Rett. isop.:
Esiste una formula che funzioni per tutti i rapporti tra le aree?
@orsoulx
Eguaglianza:
secondo te il modo più semplice è quello di chiamare un insegnante?
@Brancaleone:
OK va bene, ma che metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?
Esiste una formula che funziona per tutti i rapporti tra le aree?

Grazie a tutti per le Vs risposte.
aldo

Per l'uguaglianza, basta leggere dopo aver capovolto il foglio

metodo hai usato? Se il rapporto fosse $n$?
@nino
OK va tutto bene, ma un lato deve essere per forza 1?

aldo

Certo che no.
Trovati i primi 4 termini, si possono moltiplicare tutti per n
a=3; b=4; A=6; B=1 ----> n=2
a, b ----> a+b-1, 1
2a, 2b ----> 2a+2b-2, 2
3a, 3b ----> 3a+3b-3, 3
ecc...

Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi

Un alunno scrive...

Di solito dove c'è un alunno ci sta pure l'insegnante

Ciao

Per la formula generale, non l'ho trovata, magari ci penso più tardi

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Se chiamo $n$ il rapporto intero fra le due aree ( $n>=2$ ) i primi 4 termini validi (lato minore ; lato maggiore del rettangolo ad area multipla //// lato maggiore ; 1 dell'altro rettangolo) possono essere:

$ n+1 ; n^2 //// n*(n+1) ; 1 $

Per gli altri basta moltiplicare tutti i termini per i numeri naturali.

Facendo la somma (semiperimetro):
$n + 1 + n^2 = n^2 + n + 1 $

Facendo il rapporto dei prodotti (aree):
$ (n^2*(n+1))/(n*(n+1)) = n $

Es. $n=5$
$ 6 ; 25 //// 30 ; 1 $

$n=11$
$ 12 ; 121 //// 132 ; 1 $

ecc...

Non so (anche se presumo) se siano gli unici casi possibili