27/02/2015, 17:45
27/02/2015, 21:44
alessandrof10 ha scritto:ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:
$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$
poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero
$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$
adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).
$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$
quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci
poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??
28/02/2015, 00:10
navigatore ha scritto:Ciao Alessandro.
Ho letto tutto il post, e ho capito che hai un po' di confusione. Vediamo se riesco ad aiutarti.alessandrof10 ha scritto:ciao ragazzi la questione è semplice, dovrei capire da dove esce fuori la direzione della velocità angolare nel moto uniformemente accelerato. inizio dicendo che in questo moto sia $v(t)=|v|\hat v$ con il modulo e versore non costanti nel tempo quindi l'accelerazione è:
$a=(delv(t))/(delt)=(delv)/(delt) \hat v+v (del\hat v)/(delt)$
Per cominciare, stai parlando di moto circolare, o su una traiettoria qualsiasi che ad un certo punto non è più rettilinea? Comunque importa poco, concentrati su quello che succede nel punto in cui la traiettoria "fa la curva". In questo punto puoi sempre immaginare di sostituire il cerchio osculatore alla curva, tanto più quanto più piccolo è il $\Deltat$ . (Chiedo scusa ai puristi per come dico le cose, le metto semplici per farmi capire) .
Perchè scrivi le derivate col simbolo di derivata parziale ? Non occorre.
La velocità è un vettore : $ vecv = v*hatv$ , dove $v$ è il modulo e $hatv$ il versore, tangente ala curva nel punto. Sia il modulo che il versore possono variare nel tempo . Quindi derivando rispetto al tempo si ha :
$ veca = (dvecv)/(dt) = (dv)/(dt)hatv + v(dhatv)/(dt)$
Il primo termine al 2° membro ti dice che , fermo restando il versore $hatv$ , può cambiare il modulo $v$ del vettore nel tempo. Questo termine definisce quindi il componente tangenziale della $veca$ .poi viene posto che la derivata di un versore rispetto al tempo è uguale alla velocita angolare con direzione normale ovvero
$(del\hat v)/(delt)=\omega \hat n$
adesso da buon matematico ho cercato di capire perche il prof ha scritto questa cosa.In linea di principio ho capito (ditemi se è giusto ) che se prendo due versori della velocità su una traiettoria circolare rispettivamente uno al tempo $t$ e altro al tempo $(t+\Deltat)$ quindi i due versori formano un angolo infinitesimo $\Delta\phi$ che è proporzionale alla distanza tra i due versori(questa distanza è infinitesima ed rappresenta il numeratore del rapporto incrementale per ).
$(del\hat v)/(delt)=lim_(Deltat->0)(\hat v(t+\Deltat)-\hat v(t))/(Deltat)=(\Delta\phi)/(Deltat)=\omega \hat n$
quindi omega(velocità angolare) da come ce scritto sul mio libro è un vettore con direzione opposta al raggio quindi punta verso il centro della circonferenza per intenderci
Questo è giusto, ma con qualche piccola limatina . Devi supporre che hai tracciato i due versori , quello all'istante $t$ e quello all'istante $t + dt$ , da uno stesso punto : il secondo è ruotato, rispetto al primo, attorno al punto comune . Come è ruotato? Verso l'interno della curva, perché in effetti deve mantenersi sempre tangente alla curva, giusto? Fa' un disegnino a parte, e te ne accorgi.
E con quale velocità angolare puoi immaginare che ruoti questo versore? Evidentemente con la stessa velocità angolare con cui "gira" il punto che descrive la curva (sto usando un linguaggio elementare e volutamente impreciso) . Cioè, tenendo ferma la "coda" del versore, la sua punta è ruotata verso l'interno di $\omega*l$ , dove $l$ è la lunghezza del versore .
MA un versore ha lunghezza unitaria !!! Quindi : $\omega*1 = \omega$ , no ?
Hai fatto il disegnino a parte ? Ora hai tre vettori : i due versori che ti ho detto, nei due istanti di tempo intervallati di $dt$ , e il loro lato di chiusura, che vale $\omega$ . Questo lato di chiusura è orientato come il versore $hatn$ normale alla curva in $P$, e perciò in definitiva puoi dire che :
$(dhatv)/(dt) = \omega*hatn = v/r*hatn$
Allora, se vai a sostituire nel secondo termine a secondo membro della accelerazione , hai quella che si chiama accelerazione normale o centripeta, diretta lungo la normale alla curva, verso il centro :
$veca_c = v^2/rhatn$
In definitiva : $veca = (dv)/(dt)hatv + v^2/rhatn$poi il prof per scrivere meglio l'equazione dell'accelerazione tira fuori dal nulla la formula di poisson in cui la velocita angolare è ortogonale al piano xy cioè ortogonale al vettore velocità... e poi perche la velocità angolare è nella stessa direzione dell asse di rotazione e invece nella formula sopra trattata giace nel piano xy ??
28/02/2015, 06:17
fino qui tutto giusto e comprensibile quindi ricapitolando noi abbiamo un vettore omega chiamato velocità angolare giacente nel piano del moto con direzione normale ( verso il centro della circonferenza)e questo termine è chiamato accelerazione centripeta.
eccetera eccetera…..
28/02/2015, 11:49
28/02/2015, 12:26
28/02/2015, 13:53
alessandrof10 ha scritto:allora prima vorrei ringraziarti per le risposte... poi ovviamento so la differenza tra $\omega$ scalare e $\omega$ vettore però nella formula dell'accelerazione viene considerato il vettore perche cè scritto esplicitamente
$\vec omega=|\omega| \hat n$
modulo e verso con direzione centripeta quindi o sono io che so stupido oppure non ho capito nulla dell' analisi vettoriale
…...
allora prendo un sistema di rif a 3 direzioni, considero una circonferenza traccio il raggio dall'orgine ad un punto generico $P$ ,poi disegno tangenzialmente alla traiettoria circolare il vettore velocità e in fine disegno all'accelerazione puntata in P e diretta verso origine
dal prodotto vettoriale posso scrivere che :
$\vec a=\vec omega xx \vec v$ essendo tutte e 3 vettori ortogonali tra loro
$\vec v=\vec omega xx \vec r$ stessa conclusione per la loro ortogonalità
il mio problema è quello di scivere l'accelerazione in funzione del raggio
$\vec a=\vec omega xx(\vec omega xx \vec r)=- omega^2 \vec r =-r omega^2 \hat r$
poi considerando il moto circolare accelerato
l'accelerazione è composta da due componenti come da te citati sopra per non ripetere le cose passo direttamente al considerare la velocità centripeta (nb : accelerazione)
quindi prendo la circonferenza unitaria disegnata su un s.d.r tridimensionale considero il raggio dal centro a un punto $P$ su la traiettoria e disegno tangenzialmente il versore $\hat v$ ( per definizione è costante in modulo ma non in direzione e verso) che moltiplica lo scalare $v$ invece se analizzo matematicamente la derivata di un versore capisco che è uguale
$(del \hat v)/(delt)=hat n$
direi che è abbastanza intuitiva come cosa no ?!?! la derivata di un versore è un versore perpendicolare ad esso
$\vec a_(c)=v(del \hat v)/(delt)=v \hat n =omega r \hat n $
quest ultima espressione è sbagliata ovviamente ma vorrei capire perche è sbagliata.. ovvero la derivata di un versore per me è un versore di modulo unitario come da definizione... invece per il resto del mondo la derivata di un versore è un versore che moltiplica un modulo( $omega$) in termini matematici da dove lo tiro fuori questo modulo, qualè esigenza di scrivere anche il modulo di un versore se so che il modulo è costante e vale 1 ??
scusami se sono cosi esigente con queste domande ma sono dell' idea che per spiegare ad un bambino una cosa devi capirla come un bambino anche se gli argomenti in questione sono molto ma molto complicati
alessandrof10 ha scritto:Navigatore ti ringrazio della pazienza ma forse ho capito la spiegazione su questo sito …….
il mio errore sai qual'era ?? che quando consideravo il triangolo isoscele formato dai due lati che erano versori unitari la mia testa mi diceva che la base di quel triangolo era unitaria non considerando il teorema di pitagora come uno sprovveduto
quindi la nostra lunghezza di $ Delta \hat v $ è incognita per ricavarla basta pensare che è proporzionale a $ Delta phi $... per $ Delta t->0 $ abbiamo che il versore diventa perpendicolare e il modulo vale proprio $ omega $ giusto ??
28/02/2015, 15:11
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