[Meccanica razionale] Momento di inerzia

Ricordando che $C=((R+L/2)cosvarphi, (R+L/2)sinvarphi, z)=vec(OC)$, i moti sono 3.

1) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto a $x_3$: $v_C^(||)=dotz, K=1/2mdotz^2$.

2) Traslazione del centro di massa dell'asta rispetto al piano $(x_1, x_2)$: $vecv_C^bot=(-dotvarphi(R+L/2)sinvarphi, dotvarphi(R+L/2)cosvarphi, 0), K=1/2mdotvarphi^2(R+L/2)^2$.

3) Rotazione dell'asta rispetto al suo centro di massa: $K=1/2Idotvarphi^2$, con $I=1/12mL^2$.

Poi sommando il sommabile ed esplicitando $I$, ottengo il risultato indicato... Grazie per il grosso aiuto, navigatore!

È uscito? E dove è andato, a farsi una birra o due ?

Ciao Bubbino.

TRASLAZIONE: $K=1/2mdotz^2$

RIVOLUZIONE: $I=1/12mL^2+m(R+L/2)^2, K=1/6mdotvarphi^2(L^2+3R^2+3RL)$

TRASLAZIONE + RIVOLUZIONE = Risultato indicato dal Prof.

Non viene considerata la rotazione...

Adesso che e' risolto (non volevo intromettermi prima per correttezza), fammi aggiungere 2 cose che ti sono sfuggite dalla spiegazione che ti ha dato il Nav:
E' ovvio che la rotazione non e' considerata: rispetto all'asse z, l'asse ha solo un moto di rivoluzione, ma non di rotazione. l'asse z e' infatti centro di istantanea rotazione dell'asta.
La rotazione + la rivoluzione la vedi solo se ti metti nel centro di massa della barra. In quel sistema di riferimento il cdm trasla con moto circolare uniforme intorno a z e IN PIU' la barra ruota attorno all'origine (con lo stesso periodo, come ti ha detto navigatore). se fai i conti mettendoti nel cdm vedrai che torna.

Un altro modo di trovare $E_k$ (se mi funzionasse l'editor che fa le bizze) e' quello di considerare una particella di massa dm della barretta a distanza x da z.
L'energia cinetica di quella massettina che si muove di moto rotatorio attorno a z, sarebbe $1/2dmx\dot\varphi\^2$.
Dato che $dm=\rho\dx$, sostituendo e integrando tra $R$ e $R+L$ e ricordando che $\rho=M/L$, trovi esattamente lo stesso risultato (provare per credere ).

OK, capito, grazie anche a te per la spiegazione, PK. Comunque lunedì pomeriggio faccio anche il calcolo di verifica, con $dK=1/2dmx^2dotvarphi^2$ (prima non riesco, che lunedì mattina ho un esonero, di un'altra materia). Ciao.

Ho verificato, è OK!

Ho verificato, è OK!

Strano, eh?

Lo so che tornava, non aggiungevo nulla al thread: volevo solo che risolvessi l'integrale, ah, ah, ah!!!

Ahahah, sì, lo sapevo!