Un punto materiale viene messo in moto con velocità v

Ma inizialmente avevo $ 1/2 m v_A^2 +mgl - 1/2 m v_P^2 = - mu_d m g L $ vero?? oppure la forza di attrito era positiva?

considerando la forza di attrito positiva cioè $1/2 mv_A^2+mgl−1/2 m v_P^2= +μ_d m g L$ ottengo $ v_A= 3.7 m/s $

Ma inizialmente avevo $ 1/2 m v_A^2 +mgl - 1/2 m v_P^2 = - mu_d m g L $ vero?? oppure la forza di attrito era positiva?

Ci devi ragionare un attimo, quando hai problemi con i segni. E ti conviene quasi sempre spezzare il problema nei tratti con e senza attrito. Dove c'e' attrito applichi il teor. forze vive. Dove le forze sono conservtive, applichi la conservazione dell'energia meccanica. Altrimenti fai confusione!

Allora cambiamo approccio, seguendo quest'ultimo suggerimento:

Il corpo parte con Energia cinetica $1/2mv_a^2$.
Per il teorema delle forze vive, la sua energia cinetica diminuisce. Quindi il corpo arriva in B con una velocita' tale che

$1/2mv_b^2=1/2mv_a^2-\mu mg$ (vuoldire che $v_b<v_a$, come ti aspetti dopo aver fatto un po' di strada in bici senza pedalare!

Ora entriamo nel campo del conservativo: Qui applichiamo la conservazione dell'energia meccanica:

quando il corpo viaggia sullo scivolo tra B e P si deve conservar la somma energia cinetica + energia potenziale cioe' $E_b+U_b=E_p+U_p$
Assunto come zero potenziale il piano in B, questa diventa:

$1/2mv_B^2 + 0 = 1/2mv_p^2-mgl$

Eliminando la $v_b$, che e' un punto intermedio di cui non ti frega granche' in questo caso, dalle due equazioni ottieni che

$ 1/2mv_a^2-\mu mg = 1/2mv_p^2-mgl$

Che ti mostra che $ 1/2mv_a^2+mgl-1/2mv_p^2 = \mu mg$, stavolta senza avere dubbi sui segni.

sostituendo a $v_p$ il valore necessario per garantire il distacco (N=0) trovi $v_a$

La ringrazio davvero! La mia impostazione era abbastanza corretta ma un po' disordinata