Equazioni Maxwell in forma Covariante

Salve ragazzi ho questo problema :

Introducendo il tensore del campo $F^{\alpha \beta}$ :

\[ \left( \begin{array}{ccc}
0 & -B_z & -B_y & i\frac{E_x}{c} \\
-B_z & 0 & B_x & i\frac{E_y}{c} \\
B_y & -B_x & 0 & i\frac{E_z}{c} \\
-i\frac{E_x}{c} & -i\frac{E_y}{c} & -i\frac{E_z}{c} & 0 \end{array} \right)\]

Posso descrivere le 2 equazioni di Maxwell non omogenee in forma covariante utilizzando :

$\partial_{\alpha} F^{\alpha \beta} = \mu J^{\beta}$ $\qquad$ con $\qquad$ $J^{\beta}=(c\rho,J)$

E per le equazioni omogeee :

$\partial_{\alpha} F_{\beta \gamma}+\partial_{\beta} F_{\gamma \alpha}+\partial_{\gamma} F_{\alpha \beta}=0$

con $\qquad$ $\alpha,\beta,\gamma$ $\qquad$ tre dei quattro numeri interi 0,1,2,3 .

Bene... ad ad essere sincero non so come da tutto ciò posso ricavare le 4 equazioni di Maxwell..

Potreste mostrarmi il procedimento,più dettagliato possibile , di una equazione omogenea e una non omogenea in modo da poter ricavare da solo le altre due? Ve ne sarei grato!

La convenzione con la \(\imath\) (per dirla con un eufemismo) non mi piace... uso la metrica lorentziana con segnatura \((1,-1,-1,-1)\), nella quale (\(c=1\), unità di misura razionalizzate) si ha
\[\begin{split}
F^{\alpha\beta}&:=\partial^\alpha A^\beta-\partial^\beta A^\alpha\\
&=\begin{bmatrix}
0&-E_x&-E_y&-E_z\\
E_x&0&-B_z&B_y\\
E_y&B_z&0&-B_x\\
E_z&-B_y&B_x&0
\end{bmatrix}
\end{split}\]
dove
\[
x^\alpha\equiv(t,\vec{x}),\quad A^\alpha\equiv(\phi,\vec{A}),\quad j^\alpha\equiv(\rho,\vec{j})
\]
e le definizioni dei campi sono le solite
\[
\vec{E}:=-\mathrm{grad}\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t},\quad\vec{B}:=\mathrm{rot}\vec{A}
\]
Ricavo ad esempio
\[
\mathrm{div}\vec{E}=\rho
\]
da
\[
\partial_\alpha F^{\alpha\beta}=j^\beta
\]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

mettendo \(\alpha=k,\,\beta=0\)¹
\[\begin{split}
\partial_k F^{k0}&=\partial_k(\partial^k A^0-\partial^0A^k)\\
&=-\mathrm{div}(\mathrm{grad}\phi)-\mathrm{div} \frac{\partial}{\partial t}\vec{A}\\
&=\mathrm{div}\vec{E}=j^0=\rho
\end{split}\]

e anche
\[
\frac{\partial}{\partial t}\vec{B}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]
da
\[
\partial_{[\lambda}F_{\mu\nu]}=0
\]

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

ponendo questa volta \(\lambda=0,\,\mu=i,\,\nu=j\)
\[\begin{split}
0&=\partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}+\partial_i F_{j0}\\
&= \partial_0F_{ij}+\partial_j F_{0i}-\partial_i F_{0j}
\end{split}\]
moltiplico per \(-\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\) ricordando che \(B^k=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}F_{ij}\) e ottengo
\[\begin{split}
0&=-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}\partial_0F_{ij}-\frac{1}{2}\epsilon^{kij}(\partial_jE_i-\partial_iE_j)\\
&=B^k-\frac{1}{2}\left[-(\mathrm{rot}\vec{E})^k-(\mathrm{rot}\vec{E})^k\right]\\
&=\frac{\partial}{\partial t}B^k+(\mathrm{rot}\vec{E})^k
\end{split}\]
e quindi
\[
\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}+\mathrm{rot}\vec{E}=0
\]

Per eventuali informazioni ti rimando a questa pagina di Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetic_tensor.

Nel tuo caso i meno compaiono grazie alle \(\imath\) e le relazioni vanno adattate alla tua (inedita² almeno per me) definizione di tensore di campo, ma i calcoli dovrebbero essere in tutto e per tutto simili.

Ciao

---

Note

1. Attenzione! Con la mia metrica \(x^\alpha x_\alpha=t^2-\vec{x}^2\) e quindi \(x_\alpha\equiv(t,-\vec{x})\), il che si riflette sulle derivate
   \[
   \partial_\alpha:=\frac{\partial}{\partial x^\alpha}\equiv(\frac{\partial}{\partial t},+\nabla),\quad\partial^\alpha:=\frac{\partial}{\partial x_\alpha}\equiv(\frac{\partial}{\partial t},-\nabla)
   \]
   ne segue che \(\partial_k\partial^k=-\nabla\cdot\nabla,\quad k=1,2,3\), mentre per un vettore \(a^\alpha\equiv(a_0,\vec{a})\) risulta \(\partial_k a^k=\nabla\vec{a}\equiv\partial^k a_k\).
   Facile, no? ↑
2. Dovresti avere una convenzione del genere, se non sbaglio:
   \[\begin{split}
   &x^\alpha=(\vec{x},\imath ct),\quad A^\alpha=(\vec{A},\imath\phi/c),\quad j^\alpha\equiv(\vec{j},\imath c\rho)\\
   &F^{\alpha\beta}=\partial^\beta A^\alpha-\partial^\alpha A^\beta
   \end{split}\]
   che ha un non so che di sadico, ma come si suol dire de gustibus non est disputandum Mi lascia un po' perplesso la definizione di \(j^\alpha\) che hai scritto tu, perché dalle componenti del tensore di campo mi sembra che la componente tempo sia la quarta (la portatrice di \(\imath\)), mentre tu scrivi \(j^\alpha\equiv(c\rho,\vec{j})\)... il che sarebbe inconsistente (manca la \(\imath\) e la componente tempo è la prima).
   
   Testo nascosto, fai click qui per vederlo
   Potrei, per diletto, provare a ricavare la prima delle due equazioni di cui sopra
   \[\begin{split}
   \partial_kF^{k4}&=\partial_k(\partial^4 A^k-\partial^k A^4)\\
   &=-\imath\nabla\cdot\nabla\phi-\imath\frac{\partial\nabla\cdot\vec{A}}{\partial t}\\
   &=\imath\nabla\cdot(-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})\\
   &=\imath\nabla\cdot\vec{E}=\imath\rho
   \end{split}\]
   Q.E.D.
   ↑

Fantastico! Sei stato chiarissimo e soprattutto gentilissimo

Per quanto riguarda la notazione di $\vec{j}$ mi son fatto la stessa domanda , sarà stata una mia svista .

Ora ho solo un'ultima domanda e dopo di essa mi posso cimentare a trovare le altre due equazioni.. non capisco la scelta degli indici... come variano??

$\alpha=i,k,j$ e $\beta=0,1,2,3,4$ ?? se cosi fosse avrei 12 combinazioni possibili no? e sinceramente una cosa del genere non mi quadra per nulla!

mentre nel secondo caso $\lambda,\mu,\nu$ dove variano?

In poche parole non ho capito il criterio di "scelta" di tali indici :/

Il link di Wikipedia si rifà alle pagine del Jackson , infatti , in precedenza , stavo cercando di aiutarmi con quel libro per capirci qualcosa in più.

Grazie ancora

Ci sono svariate convenzioni sugli indici: in Relatività Ristretta di solito si adotta la seguente

• gli indici greci assumono i valori \(0,1,2,3\) o nel tuo caso \(1,2,3,4\): la \(0\) (\(4\) nel tuo caso) è la componente tempo;
• gli indici latini assumono i valori \(1,2,3\) in entrambi i casi e denotano le componenti spaziali.

Quando scrivo \(\alpha=k\) intendo che considero le sole componenti spaziali (quindi \(\alpha=k=1,2,3\)), ad esempio: prendo due quadrivettori \(v\equiv(v_0,\vec{v})\) e \(w\equiv(w_0,\vec{w})\), allora
\[\begin{split}
vw &=v^\alpha w_\alpha=v_0w_0-\vec{v}\cdot\vec{w}\\
v^k w_k &=-\vec{v}\cdot\vec{w}
\end{split}\]
Il segno meno deriva dalla mia metrica
\[
\eta_{\alpha\beta}=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0& -1 & 0 & 0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}
\]

Quindi in pratica quando dico "mettendo \(\alpha=k\)" intendo dire che sto restringendo i valori che può assumere \(\alpha\) a \(1,2,3\); ovviamente nel post precedente ed in questo ho adottato la somma sugli indici ripetuti
\[\begin{split}
v^\alpha w_\alpha &= \sum_{\alpha=0}^3 v^\alpha w_\alpha=\sum_{\alpha,\beta=0}^3 v^\alpha w^\beta \eta_{\alpha \beta}\\
v^k w_k &=\sum_{k=1}^3 v ^k w_k=\sum_{k,l=1}^3 v^k w^l \eta_{kl}=-\sum_{k=1}^3 v ^k w^k
\end{split}
\]

Non so se ho chiarito. Comunque utilizzando la \(\imath\) nella componente tempo non hai il problema di indici alti/bassi peché tutto va come se la tua metrica fosse \(\mathbb{I}_4\): il segno meno nel prodotto delle componenti tempo è dato da \(\imath^2=-1\).

Ciao

Hai acceso la luce in me! Tutto chiaro Ciao e grazie infinite.

Spero che non mi arrivino bollette da pagare!

Ahahahahaha

Ho trovato tutte e quattro equazioni, non appena ho 5 minuti le trascrivo qui in modo tale che siano accessibili a tutti.

Ecco qui il PDF ( purtroppo il tempo non mi basta mai ! )

Come elementi di F fate riferimento alla matrice scritta sopra da me, spero sia di aiuto a qualcuno.

Equazioni di Maxwell in forma covariante : https://mega.nz/#!RgRhUTYL!uJgNb8pFUDtS ... mshM_A8QRE