Un disco con molla, urto con una particella

Salve,
chiedo un aiuto per la risoluzione dei due punti posti dal seguente problema....


l'accelerazione comune dei due punti materiali potrebbe essere calcolata da M = I$\alpha$
dovde M è il momento risultante ed I il momento di inerzia del disco, mentre $\alpha$ = A / R
M = F1 R + F2 R F1= (mA+mB)g ??? F2 = k z ???

Rispetto al centro del disco, si conserva il momento angolare prima e dopo l'impatto.
Da questo punto, calcoli la velocita' dopo l'impatto.
Da quel momento in poi si conserva l'energia meccanica.

A grandi linee. Prova a impostare ora la soluzione..

Mi sembra che questa soluzione sia corretta...chiedo conferema...

per il punto b) la mia soluzione non sembra corretta, dove sarà l'errore?

Non ho controllato il resto, ma il corpo A + B dopo l'impatto non parte con velocita' nulla, ma con velocita'

$\dot\y(0)={2M_Bv_0)/{2(M_A+M_B)+M}$

Ho verificato la distanza massima (quesito b) e corrisponde alla soluzione del testo.
Poi mi sono divertito a calcolare la pulsazione dell'oscillazione e lo sfasamento, che servono a trovare il tempo.
Ho trovato.

$$\eqalign{
& \sin \varphi = \frac{1}
{{\sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} }} \cr
& \Omega = \sqrt {\frac{{2k}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}} \cr
& T = \frac{{\frac{\pi }
{2} + \varphi }}
{\Omega } = \frac{{\frac{\pi }
{2} + \arcsin \left( {\frac{1}
{{\sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} }}} \right)}}
{{\sqrt {\frac{{2k}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}} }} \cr} $$

Sì, ok, c'è un segno + anziché - nella formula del tempo, avrò sbagliato qualcosa e non ho voglia di rivedere i conti (oppure ha sbagliato il testo), ma in sostanza ho verificato che si può calcolare tutto.

A si poi mi sono accorto anch'io che ho sbagliato a porre la velocità iniziale nulla, ma non capisco la formula di proferrorkappa
non dovrebbe essere dalla conservazione della q.d.m $m_bv_0=(m_b+m_c)v$?
Poi ringrazio tanto Falco5x per avermi sbrogliato anche l'altro quesito e ti chiedo , se non è trppo scocciante, (magari in privato)
di chiarire i vari passaggi per il calcolo della distanza massima.
Grazie

Per spiegare il punto b occorre prima fare quello che ha fatto professorkappa, cioè partendo dalla conservazione del momento angolare:

$$\eqalign{
& {v_0}{m_B}R = \left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}R + \frac{1}
{2}M{R^2}\frac{{{v_1}}}
{R} = \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{1}
{2}M} \right)R{v_1} \cr
& {v_1} = \frac{{2{m_B}}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0} \cr} $$

Poi si scrive l'energia totale iniziale che deve essere costante, e quindi uguale a quella finale:

$$\eqalign{
& {E_i} = {E_{ki}} + {E_{Pi}} = \frac{1}
{2}\frac{1}
{2}M{R^2}{\omega ^2} + \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B}} \right){v_1}^2 + 0 + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0}} \right)^2} \cr
& k\left( {{l_i} - {l_0}} \right) = {m_A}g \cr
& \omega = \frac{{{v_1}}}
{R} \cr
& {E_f} = {E_{kf}} + {E_{Pf}} = 0 - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} \cr
& {E_i} = {E_f} \cr
& \frac{1}
{2}\left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{2}k{\left( {{l_i} - {l_0} + \delta } \right)^2} = \cr
& = - \left( {{m_A} + {m_B}} \right)g\delta + \frac{1}
{{2k}}{m_A}^2{g^2} + \frac{1}
{2}k{\delta ^2} + {m_A}g\delta \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \left( {{m_A} + {m_B} + \frac{M}
{2}} \right){v_1}^2 = 0 \cr
& k{\delta ^2} - 2{m_B}g\delta - \frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2 = 0 \cr} $$

Da cui si ricava delta con la formula risulutiva delle equazioni di secondo grado:

$$\eqalign{
& \delta = \frac{{{m_B}g + \sqrt {{m_B}^2{g^2} + k\frac{{2{m_B}^2}}
{{M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)}}{v_0}^2} }}
{k} = \frac{{{m_B}g}}
{k} + \sqrt {\frac{{{m_B}^2{g^2}}}
{{{k^2}}} + \frac{{2{m_B}^2}}
{{k\left( {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right)}}{v_0}^2} = \cr
& \delta = \frac{{{m_B}g}}
{k}\left( {1 + \sqrt {1 + \frac{{2k{v_0}^2}}
{{\left[ {M + 2\left( {{m_A} + {m_B}} \right)} \right]{g^2}}}} } \right) \cr} $$

ti ringrazio moltissimooo...

Mi rendo conto che ti sto disturbando troppo ma propio non capisco da dove esce l'espressione di sin$\phi$
e perchè il tempo per raggiungere l'elongazione massima è dato dall'espressione da te scritta,
non dovrebbe essere la metà del periodo? e perciò $pi$ / $\omega$?

Se chiamiamo y l'asse rivolto verso il basso e poniamo l'origine nella posizione iniziale, il moto è armonico con coordinata iniziale nulla e velocità iniziale che ci siamo calcolata. Quindi dopo il tempo T/2 raggiunge l'elongazione massima.