Considerando l'equazione di continuità $ \frac {-dV} dt = Q = v(t) \cdot A $, dove $dV$ è la variazione del volume di acqua nel serbatoio che si verifica nell'intervallo $dt$, $Q$ è la portata volumetrica dell'acqua, $v(t)$ è la velocità media di uscita dell'acqua dal foro all'istante $t$ e $A$ è l'area del foro.
Trascurando le perdite di carico, applicando Bernoulli tra la superficie del serbatoio e il foro si ha che $v(t)=\sqrt{2 g \cdot z(t)}$, dove $z(t)$ è la quota dell'acqua al di sopra del foro all'istante t.
Sapendo che il serbatoio è cilindrico si ha: $dV=S \cdot dz$, dove $S$ è l'area di base del cilindro, quindi combinando con l'equazione di continuità si ha un'equazione differenziale a variabili separabili:
$-S* \frac{dz}dt =A\cdot \sqrt{2 g \cdot z(t)}$
Separando le variabili:
$-S* \frac{dz}{\sqrt{2 g \cdot z(t)}} =A\cdot dt$
Integrando tra l'istante iniziale (serbatoio pieno) e finale (serbatoio svuotato):
$-\frac S \sqrt(2g) \cdot [\sqrt(z)]_{h"/"2}^0/(1"/"2)=A\cdot [t]_0^t$
$\frac {2S} \sqrt(2g) \cdot \sqrt(h/2)=A\cdot t$
Cioè, se non ho fatto errori:
$t=\frac {S \sqrt(h)}{A \sqrt(g)}={R^2 \sqrt(h)}/{r^2 \sqrt(g)}={(1 m)^2 \sqrt(10 m)}/{ (0,01 m)^2 \sqrt(9.81 m/s^2)} \approx 2,80 " ore"$
Ciao!
EDIT: Grazie ho corretto, ma non mi viene lo stesso risultato
EDIT2: Ok, corretto anche il secondo errore nell'integrale.. mannaggia questi integrali! D:
Ultima modifica di
LucaSt il 28/01/2024, 14:19, modificato 2 volte in totale.