Domanda sui campi

Sia $F$ campo $alpha_1$ algebrico su $F$ , sia $f$ il suo polinomio minimo, risulterà $F[x]//f$ essere un campo, ed in particolare $F[x]//f$ $~~$ $F[alpha_1]$, giusto?
Se indico con ${alpha_1,alpha_2,..alpha_i,..alpha_n}$ le altre radici del polinomio minimo di grado $n$ , avro $F[x]//f~~F[alpha_1]~~F[alpha_2]~~.......~~F[alpha_n]$
Giusto?

Sì giusto.

Ora supponiamo anche che sia $F(alpha_1)=F[alpha_1]=F(alpha_1,alpha_2,.....,alpha_n)=F[alpha_1,alpha_2,....,alpha_n]$
avrò sempre esattamente $n$ copie isomorfe $F[x]//f~~F[alpha_1]~~F[alpha_2]~~,......~~F[alpha_n]$ e di conseguenza esattamente $n$ distinti automorfismi, che possiamo indicare con $phi_1$ l'automorfismo che porta $phi_1(alpha_1)=alpha_1$ con $phi_2$ l'automorfismo che porta $phi_2(alpha_1)=alpha_2$ e così via, giusto?

Sì (a parte l'abuso di notazione solito), ne abbiamo parlato per esteso qui. Non ti ricordi?