20/05/2023, 17:10
serafinon ha scritto:$(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) => [AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0) => x=0]$
questo è logicamente equivalente a dire:
$[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] => x=0$
20/05/2023, 17:46
la seconda non è ben formulata perché a sinistra x è una variabile muta (cioè esiste solo nella porzione di formula in cui è quantificata), che ricompare a destra.
20/05/2023, 19:04
serafinon ha scritto:$P=>(Q=>R)≡(P and Q) =>R$,
ove:
- $P:=(∀x∀y,ϕ(x,y)=0⇒x=0ory=0)$
- $Q:=∀x,(∀y∈V,ϕ(x,y)=0)$
- $R:=x=0$
Benissimo, questo è elementarissimo e si dimostra così: supponiamo che valga $ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ e prendiamo $x$ tale che $phi(x,y)=0$ per ogni $y$ allora ovviamente esiste $y$ tale che $phi(x,y)=0$, e applicando l'ipotesi otteniamo $x=0$. Quindi $phi$ è non degenere. Fine.3) Per rispondere invece alla domanda linguaggio naturale:
La mia idea era voler dimostrare in principio:
"Sia ϕ una forma bilineare simmetrica, se $ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ allora ϕ è non degenere."
20/05/2023, 20:01
Benissimo, questo è elementarissimo e si dimostra così: supponiamo che valga $ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ e prendiamo $x$ tale che $phi(x,y)=0$ per ogni $y$ allora ovviamente esiste $y$ tale che $phi(x,y)=0$, e applicando l'ipotesi otteniamo $x=0$. Quindi $phi$ è non degenere. Fine.
20/05/2023, 20:39
serafinon ha scritto:Martino ha scritto:Benissimo, questo è elementarissimo e si dimostra così: supponiamo che valga $ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ e prendiamo $x$ tale che $phi(x,y)=0$ per ogni $y$ allora ovviamente esiste $y$ tale che $phi(x,y)=0$, e applicando l'ipotesi otteniamo $x=0$. Quindi $phi$ è non degenere. Fine.
Qui invece vorrei capire se ho ben compreso il passaggio "logico", noi sappiamo (hp) che
$ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ per ogni x, y. fisso allora la x (tanto vale per ogni) e assumo y variabil tali che $phi(x,y)=0$, a questo punto ho per hp che x=0 oppure y=0, tuttavia y varia (y non è fissa/identicamente nulla) quindi deduco che solo x può essere nulla. E' corretta come interpretazione?
20/05/2023, 20:48
Martino ha scritto:Quello che vuoi dimostrare, in formule, è
$P =>$ ($forall x$ ($Q(x) => R(x)$))
e quindi osserva in particolare che NON è della forma $A => (B => C)$.
serafinon ha scritto:Martino ha scritto:Benissimo, questo è elementarissimo e si dimostra così: supponiamo che valga $ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ e prendiamo $x$ tale che $phi(x,y)=0$ per ogni $y$ allora ovviamente esiste $y$ tale che $phi(x,y)=0$, e applicando l'ipotesi otteniamo $x=0$. Quindi $phi$ è non degenere. Fine.
Qui invece vorrei capire se ho ben compreso il passaggio "logico", noi sappiamo (hp) che
$ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ per ogni x, y. fisso allora la x (tanto vale per ogni) e assumo y variabil tali che $phi(x,y)=0$, a questo punto ho per hp che x=0 oppure y=0, tuttavia y varia (y non è fissa/identicamente nulla) quindi deduco che solo x può essere nulla. E' corretta come interpretazione?
Non esattamente, nel quote a cui hai risposto ho dimenticato di scrivere che scegliamo un qualsiasi $y ne 0$ (ho dimenticato di scrivere che scegliamo $y$ diverso da zero, non un $y$ qualsiasi). Allora per ipotesi $phi(x,y)=0$ e quindi $x=0$ oppure $y=0$. Ma siccome abbiamo scelto $y ne 0$, deduciamo che $x=0$.
20/05/2023, 21:07
In realtà questo va bene, ma è scritto male perché stai quantificando $x$ due volte. Lo puoi scrivere così:serafinon ha scritto:la cosa più simile che mi veniva in mente era qualcosa del genere: $AA x,{[(AAx,AA y, (phi(x,y)=0 => x=0 or y=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$, ma non mi convinceva
$ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 $ per ogni x, y. fisso allora la x (tanto vale per ogni) e assumo y non nullo (tanto vale per ogni) tale che $phi(x,y)=0$, a questo punto ho per hp che x=0 oppure y=0, tuttavia $y!=0$ quindi deduco che solo x può essere nulla. Forse ora è giusto
21/05/2023, 09:11
21/05/2023, 12:56
21/05/2023, 19:02
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