lemma di Zorn e Assioma della scelta

Ciao a tutti, mi unisco alla discussione anche se non ho mai lavorato con queste cose in dettaglio.

Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.

Non mi è chiaro come è definito l'ordine sul cerchio chiuso.. cioè leggo che due elementi sono confrontabili in base alla distanza dal centro se sono sullo stesso diametro. Se è così non ho capito come si confrontano due punti simmetrici rispetto al centro.

Hai ragione, direi che con "allineati col centro" e' meglio intendere che stanno sullo stesso raggio.

@claudiamatica La mia idea è questa: più un punto di \( \displaystyle D \) è distante da \( \displaystyle O \) più esso è grande! Se due punti distinti sono alla medesima distanza da \( \displaystyle O \) ; ovvero sono equidistanti, non sono confrontabili.

Non c'è bisogno di essere sullo stesso raggio o diametro per essere confrontabili, di queste cose la distanza non ne tiene conto; infatti, l'esercizio da me proposto non diceva nulla del genere, e l'ho reimpostato nella forma originale!

Riprendendo il tuo esempio: 2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?

@Bender I) La risposta alla prima domanda è sì! Poi, un raggio puoi vederlo come un insieme ordinato, anzi, totalmente ordinato (II) per cui è una catena!
Aiuto per il punto (III): Non ti serve che i raggi abbiano minimo o massimo, restano sempre catene!

ok adesso so di non aver ragionato malamente. mi applicherò a risolvere il terzo punto.

ps

2 punti diametralmente opposti a distanze diverse sono confrontabili, a distanze eguali non sono confrontabili. Concordi?

anche se non rivolta a me vorrei dare un contributo, questo significa allora che 2 punti se sono diametralmente opposti a distanze diverse ovviamente sono confrontabili perché uno dei due punti in questione sarà più o meno vicino all'origine rispetto all'altro.

nel caso invece che le distanze fossero identiche ma opposte ( ma non per forza opposte cioè potremmo considerare anche raggi perpendicolari per esempio ) allora in questo caso non si può avere un confronto tra questi proprio perché la loro distanza dall'origine è identica e uno vale l'altro

( sempre se ho inteso bene )

Devo dire che la prima volta che ho letto il tuo post io l'avevo interpretata così
Tanto che come esempio di catena mi era venuta tipo una spirale. Poi è stato sottolineato il fatto che così come l'avevi data la relazione non era antisimmetrica.

Sono confusa
(Ma la spirale mi piaceva)

j18eos, certo che un po' di formalismo aiuterebbe

Sia \( \displaystyle B \) la palla chiusa di centro l'origine e raggio 1. La relazione che definisci in \( \displaystyle B \) è forse la seguente?

(A) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle |x| \leq |y| \) ".

Come ho detto qualche intervento fa, questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica.
La relazione che definisci in \( \displaystyle B \) è forse la seguente?

(B) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle |x| \leq |y| \) e \( \displaystyle x,y \) sono allineati col centro".

Come fa notare claudiamatica questa non è una relazione d'ordine dato che non è antisimmetrica (prendi due punti diametralmente opposti).
Forse tu intendi definire quest'altra relazione:

(C) \( \displaystyle x \leq y \) se e solo se " \( \displaystyle x=y \) oppure \( \displaystyle |x| < |y| \) ".

Questa è una relazione d'ordine. Confermi che è (C) la relazione che hai in mente?

[j18eos]

@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!

Ecco la mia idea: ho un disco chiuso \( \displaystyle \overline B \) di centro \( \displaystyle O \) e raggio \( \displaystyle r \) , quindi stiamo in un piano euclideo \( \displaystyle \mathcal{E}_2 \) con tanto di metrica o distanza euclidea \( \displaystyle d \) .
Sappiamo allora che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r] \) , quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon , di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,P=P \) quindi siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\text{oppure "P e Q non sono confrontabili"} \) , quindi resta il caso che siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q) \) e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza \( \displaystyle P>Q \) .

Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.

Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...

@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!

@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!

Ultima modifica di j18eos il 21/03/2014, 09:49, modificato 2 volte in totale.

@Martino Guarda, ci avevo pensato e mi hai preceduto: ti confermo la (C)!

Ecco la mia idea: ho un disco chiuso \( \displaystyle \overline B \) di centro \( \displaystyle O \) e raggio \( \displaystyle r \) , quindi stiamo in un piano euclideo \( \displaystyle \mathcal{E}_2 \) con tanto di metrica o distanza euclidea \( \displaystyle d \) .
Sappiamo allora che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,d(O;P)\in[0;r] \) , quindi mi si accende la lampadina, come si può vedere dalla emoticon , di ordinare i punti sfruttando la distanza; ovviamente (per la riflessività delle relazioni d'ordine su un insieme) devo richiedere che \( \displaystyle \forall P\in\overline B,\,P=P \) quindi siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)=d(O;Q)\Rightarrow P=Q\,\matrm{oppure\,"P\,e\,Q\,non\,sono\,confrontabili"} \) , quindi resta il caso che siano \( \displaystyle P;Q\in\overline B\mid d(O;P)>d(O;Q) \) e trovo naturale (se non addirittura ovvio) porre per conseguenza \( \displaystyle P>Q \) .

Tutte queste "ovvietà" discendono dal voler ordinare i punti con la distanza dal centro.

Poi scusate (con tutta la mia napoletanità) se lo scrivo: non volendo essere complicato come mio solito, vi ho voluti trattare come bimbi delle elementari ed ho avuto un effetto peggiore di un eccessivo formalismo! E che...

@Bender Mi sà che sei l'unico che ha capito al primo colpo!

@claudiamatica L'avevo pensata anch'io la spirale!

ci ho azzeccato perché per me, che sono inesperto, i formalismi a volte sono più ostici da digerire e quindi cerco di arrivarci per vie traverse, ma ovviamente è una mia lacuna e dovrò migliorare in questo perché il rigore della forma, oltre che essere sublime esteticamente, è per definizione inequivocabile, ma fa bene sicuramente poter tralasciare ogni tanto il rigore e spaziare anche informalmente

OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti!

OUT OF SELF: Però non bisogna eccedere col formalismo altrimenti si perdono le idee fondanti i concetti!

condivido, prima di tutto le idee devono essere interessanti e giuste poi certo ci si può perdere in sofismi formali, i quali estendono la questione alla generalità dei casi ( specie se si parla di Algebra astratta )