04/03/2015, 21:28
05/03/2015, 21:24
Lovaticss ha scritto:Quello che ho capito della simmetrica è che: se aRb allora bRa, ma a e b devono essere uguali o diversi?
Sì, nel senso che $R$ è simmetrica quando, per ogni $a$ e $b$, se $aRb$ e $bRa$ allora $a=b$: \[\forall a,b\quad(aRb\land bRa\Rightarrow a=b)\].Lovaticss ha scritto:Per quanto riguarda le relazioni antisimmetriche, la regola dice che: se aRb e bRa, allora a=b. Quindi da questa regola so che a deve essere sempre uguale a b per essere antisimmetrica, giusto?
Se $R$ è antisimmetrica si ha piuttosto che, se \(a\ne b\) allora o $a$ non è in relazione con $b$ o $b$ non è in relazione con $a$, infatti \(aRb\land bRa\Rightarrow a=b\) è lo stesso di \(a\ne b\Rightarrow \lnot aRb\lor\lnot bRa\), cioè se \(a\ne b\) allora o non vale $aRb$ o non vale $bRa$.Lovaticss ha scritto:Ma ho visto che in rete c'è anche scritto che: se a è diverso da b, allora aRb e b non è in relazione con a. Appena ho visto quest'ultima mi sono confusa.
Data la relazione \(xRy=_{\text{def}} x^2=y^2\), si vede subito che è riflessiva, infatti \(xRx\iff x^2=x^2\) e vale proprio che $x^2=x^2$. È transitiva perché, se $x^2=y^2$ e $y^2=z^2$, allora $x^2=z^2$. È simmetrica, infatti se \(x^2=y^2\) allora \(y^2=x^2\). Non è però antisimmetrica (se definita sui reali o sui complessi, mentre lo sarebbe su $\mathbb{N}$), perché se $x^2=y^2$ e $y^2=x^2$ non è detto che $x=y$ (infatti $(-x_0)^2=x_0^2$).Lovaticss ha scritto:Ho provato a fare un esercizio. Questo:
- nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x al quadrato = y al quadrato. Devo dire a quale proprietà soddisfa.
Esempio scemo: la relazione $=$ definita su un insieme qualunque.Lovaticss ha scritto:E devo anche rispondere se una relazione può essere "contemporaneamente" simmetrica e antisimmetrica.
06/03/2015, 12:34
06/03/2015, 15:28
Le classi di equivalenza hanno come elementi tutti e soli gli elementi dell'insieme, su cui è definita la relazione $R$ riflessiva, transitiva e simmetrica (cioè un'equivalenza), relazionati l'un l'altro attraverso $R$.Lovaticss ha scritto:ho capito che le classi di equivalenza sono dei sottoinsiemi ulteriori
Presa questa relazione di equivalenza, l'insieme quoziente \(\mathbb{R}_{/R}\) è l'insieme delle classi di equivalenza in ciascuna delle quali stanno precisamente gli elementi che hanno lo stesso quadrato e due numeri reali hanno lo stesso quadrato se e solo se sono uguali oppure uno è l'opposto dell'altro, perciò ogni elemento di \(\mathbb{R}_{/R}\) è della forma \(\{x,-x\}\).Lovaticss ha scritto:nell'insieme dei numeri reali, aRb se e solo se x alla seconda= y alla seconda, ho capito le proprietà che soddisfano tale relazione $R$, ma non so definire le classi o l'insieme quoziente stesso.
\(U_{/R}\) è stavolta l'insieme degli insiemi di fratelli da parte paterna.Lovaticss ha scritto:Data una relazione U= ( x:x uomo), aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. So perfettamente che tale relazione soddisfa la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, ma non so definire le classi e l'insieme quoziente.
06/03/2015, 23:44
07/03/2015, 00:30
No, no, i vari attributi che si possono predicare degli elementi di \(U\) estranei alla relazione $R$ sono del tutto irrilevanti alla definizione della classi di equivalenza. Ogni classe di equivalenza non è altro che un insieme, diciamo $\chi$, di elementi di $U$ tali che tutti gli elementi di $\chi$ sono legati dalla relazione $R$, cioè tali che \(\forall x,y\in\chi\quad xRy\), con l'ulteriore richiesta che $\chi$ deve contenere tutti gli elementi in relazione $R$ con uno degli elementi che contiene (essere in relazione $R$ di equivalenza con un elemento di tale classe implica esserlo con tutti, ovviamente, data la transitività).Lovaticss ha scritto:Data una relazione U=( x:x uomo) aRb se e solo se a e b hanno lo stesso padre. Perché come risposta hai dato l'insieme dell'insieme dei fratelli da parte paterna? in base a che cosa deduci questo? io pensavo che dato che la legge è il padre cioè che a e b hanno lo stesso padre, pensavo i diversi tipi di padri, non so padri giovani, anziani.. diverse categorie di padri, ma restando comunque nel concetto di "padre".
Ad esempio, per l'\(U_{/R}\) di sopra, prendi $U$ e metti insieme tutti quelli che hanno lo stesso padre Aldo in una classe, tutti quelli che ne hanno lo stesso padre Berto in un'altra e così via. Ora, di ogni classe puoi prendere un tizio come rappresentante: un figlio di Aldo, un figlio di Berto, ecc. Considerare l'insieme quoziente delle classi di persone che condividono il padre è "assimilabile" a considerare l'insieme dei tizi che hai preso come rappresentanti dei gruppi di fratelli da parte paterna.Lovaticss ha scritto: In effetti puoi pensare un insieme quoziente come "ciò che resta" di un insieme quando "identifichi" tra loro, quando tratti come se fossero uguali tra loro raggruppandoli in una classe di equivalenza, gli elementi equivalenti secondo la relazione R data" . Potresti dirmi a che cosa ti riferivi, grazie?
Lovaticss ha scritto:minore e uguale o maggiore e uguale è riflessiva, non simmetrica, antisimmetrica, ma è transitiva? io credo di si, ma vorrei essere sicura.
Lovaticss ha scritto: facendo 4R3 e 3R2 allora 4R2 ho visto che non è transitiva
Mi sembra di capire che $R$ è definita da \(aRb\iff ab=0\), giusto?Lovaticss ha scritto:Un' altra situazione uguale è stata ad esempio la relazione : aRb se e solo se a per b =0 .. E' riflessiva
07/03/2015, 16:19
...non è transitiva perché se ab=0 e bc=0, non significa certo che ac=0 (basta prendere a≠c,b=0)
07/03/2015, 17:54
L'insieme $U$ di tutti gli uomini non permette di costruire un quoziente finito, quindi, giusto per fare un esempio completamente esplicito, prendiamo, per esempio, l'insieme $C$ di tutti i bambini della prima A di una certa scuola. Supponiamo che siano dieci, diciamo $B_1,...,B_{10}$, dove nessuno è fratello né fratellastro dell'altro, tranne $B_2$ e $B_5$ che sono fratelli da parte di madre e padre, $B_3$ e $B_7$ che sono pure fratelli di madre e padre e $B_9$ che ha lo stesso papà, ma una mamma diversa di $B_3$ e $B_7$. Data la relazione $R$ che associa chi ha lo stesso padre, l'insieme quoziente \(C_{/R}\) è \[ \{ \{B_1\},\{B_2, B_5\},\{ B_3, B_7, B_9\},\{B_4\},\{B_6\},\{B_8\},\{B_{10}\} \} \]Lovaticss ha scritto:ancora non ho ben capito la parte "paterna"
Lovaticss ha scritto:Riguardo invece l'ultima cosa che hai scritto, dove rispondevi a quello che dicevo, cioè che aRb se e solo se a per b =0, non ho capito questo
È il prodotto cartesiano \(\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}^{\star}\), dove supporrei che \(\mathbb{Z}^{\star}=\mathbb{Z}\setminus\{0\}\), cioè l'insieme delle coppie ordinate \((x,y)\) dove $x$ appartiene all'insieme degli interi $\mathbb{Z}$ e $y$ a quello \(\mathbb{Z}\setminus\{0\}\) degli interi tolto lo $0$. Mi sa tanto che dovresti leggerti con attenzione le pagine del testo che utilizzi riguardanti le notazioni di queste cose...Lovaticss ha scritto:Primo esercizio: In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1
Domanda: che cosa vuole intendere Z x Z* ?
Lovaticss ha scritto:Secondo esercizio: In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)
Domanda: che cosa significa l'insieme dei numeri reali al quadrato?
08/03/2015, 18:03
DavideGenova ha scritto:...[...]... cosa che vedi notando che y1=z2-¹y2z1
08/03/2015, 19:20
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