Relazioni simmetriche/antisimmetriche

Ciao, grazie mille per la risposta, ho capito. Non capivo come mai mettevi il "-1" all'inizio come esponente, ma ora è tutto chiaro.

Le varie proprietà: riflessiva, simmetrica, antisimmetrica e transitiva, le ho capite e sto riuscendo a fare gli esercizi, però quello che mi viene un po' difficile è stabilire quali sono le classi di equivalenza. Cioè, ho capito che sono degli insiemi, ma non so proprio quali prendere, come fare... cioè, con un esercizio davanti non so proprio come muovermi. All'università il professore non si ferma a spiegare, ma passa sempre avanti e io avendo fatto il commerciale, ho appreso un altro tipo di matematica rispetto a quella che sto studiando adesso e mi trovo in difficoltà (ad esempio l'Analisi matematica non l'ho mai fatta e sto avendo grandi difficoltà per capirla, ecc.), quindi per questo chiedo aiuto a voi - sperando che non vi stresso .
Comunque vorrei provare a spiegarti quello che ho capito, per vedere se ho capito bene oppure no.

... In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1

In questa, secondo me, le classi d'equivalenza possono essere: -x1, +x1, -x2, +x2, -y1, +y1, -y2, +y2, cioè prendo i numeri interi relativi, attribuendo una volta più (+) e una volta meno (-); e come insieme quoziente prendo un rappresentante, ad esempio x2. Giusto così o no?

In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)

Invece in questa non riesco nemmeno a muovermi, sono bloccata

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Invece, ci sono altri due esercizi, di cui non riesco a definirne le classi e sono:

1) In R (insieme dei numeri reali) xRy se e solo se e(elevato alla x)=e(elevato alla y)

- Risposta: le proprietà sono riuscita a verificarle, ma le classi no, non sono sicura. Penso che siano tutti gli x e y positivi, negativi, sotto radice (sempre positivi e negativi), frazionari (sempre positivi e negativi); e come insieme quoziente prendo +x. Qui ho capito bene?

2) In T=(r:r rette del piano), rRs se e solo se r e s sono parallele
Risposta: Anche qui le proprietà sono riuscita a verificarle. Ma per quanto riguarda le classi che cosa dovrei verificare? Cioè quali sono i sottoinsiemi da considerare? So che per essere due rette parallele devono avere lo stesso coefficiente angolare, però non credo che questo centri qualcosa. Potrebbe essere il coefficiente che può essere positivo o negativo? Anche qui sono bloccata...
Grazie mille...

Ps.: non mi uccidere!

... In Z x Z* (x1, x2) R(y1, y2) se e solo se x1y2=x2y1

Secondo me devi prima di tutto avere chiare le notazioni e i concetti di base che ti permettono di campire innanzitutto in quale insieme definisci $R$. Se il tuo testo ("Analisi 1"?) non spiega questo genere di cose, sono convinto che dovresti chiedere qualche consiglio su un testo che dove tu possa imparare questi "fondamenti".
\(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \) è un prodotto cartesiano, quindi i suoi elementi sono coppie di numeri interi, di cui il secondo non è mai $0$, ordinate perché, per esempio, \((2,5)\) è diverso da \((5,2)\). Hai presente il piano cartesiano? È quello \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\), cioè $ \mathbb{R}^2$: l'insieme di tutte le coppie ascissa-ordinata. Analogamente \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \) un'insieme di coppie \((x_1,x_2)\) con $x_1$ intero e $x_2$ intero non nullo.
Dico questo perché credo che sia quello il problema per cui fraintendi dicendo che

In questa, secondo me, le classi d'equivalenza possono essere: -x1, +x1, -x2, +x2, -y1, +y1, -y2, +y2, cioè prendo i numeri interi relativi, attribuendo una volta più (+) e una volta meno (-)

Infatti le classi di equivalenza sono insiemi di elementi appartenenti all'insieme su cui hai definito $R$. In questo caso tale insieme è il prodotto cartesiano \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \) e quindi le classi di equivalenza saranno insiemi di coppie, di tipo \(\{(1,2),(2,4),(20,40),(7,14),...\}\), \(\{(3,9),(1,3),(20,60),(9,27),...\}\) ecc..

come insieme quoziente prendo un rappresentante, ad esempio x2

L'insieme quoziente è un insieme di insiemi. Quindi in questo caso sarà qualcosa del tipo \(\{\{(1,2),(2,4),(20,40),(7,14),...\},\{(3,9),(1,3),(20,60),(9,27),...\},...\}\).
Ora, in questo particolare caso, chiamiamo $N$ la prima coordinata e $D$ la seconda coordinata di ogni coppia \((x_1,x_2)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \). La definizione di $R$ come \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\iff x_1 y_2=x_2y_1\) significa proprio che due coppie sono in relazione la prima con la seconda (o viceversa, data la riflessività) se e solo se l'$N$ della prima moltiplicato per il $D$ della seconda è uguale all'$N$ della seconda moltiplicato per il $D$ della seconda.
Ora, quanto ai rappresentanti di una classe, si tratta di un elemento appartenente ad una classe che scegli, in modo più o meno arbitrario, come notazione pù comoda per rappresentare la classe.
Nota anche che, se hai un qualsiasi insieme $U$ con sù definita una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva $R$, dato un qualunque elemento $u\in U$, la classe di equivalenza cui appartiene è proprio l'insieme di elementi di $U$ che sono in relazione con $u$, cioè di elementi $v$ tali che $vRu$. Perciò, dato un rappresentante \(u\) di una classe di equivalenza \(\bar{u}=\{u,...\}\), questa classe di equivalenza è proprio l'insieme degli elementi di $U$ che sono in relazione con $u$.
In questo caso specifico in cui \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\iff x_1 y_2=x_2y_1\) puoi decidere di prendere, che so io, per esempio l'elemento, la coppia, di ogni classe in cui $x_1$, e quindi anche di $x_2$ perché sono proporzionali, sia di modulo il più piccolo possibile, scegliendo $y_2$ sempre di segno positivo (cosa che puoi fare perché se, nell'espressione $x_1 y_2=x_2y_1$, \(x_1\) è positivo e $x_2$ negativo, la stessa relazione è soddisfatta da \(-x_2\) negativo e \(|x_2|\) positivo di uguale, e se entrambi sono negativi, prendi \((|x_1|,|x_2|)\) perché soddisfa la stessa realzione). Indichiamo tale rappresentante con un trattino sopra per far capire che non ci stiamo più riferendo ad una coppia di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \), ma ad una classe di equivalenza, che è un sottoinsieme di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \), usandone però un rappresentante. Così facendo \(\{\{(1,2),(2,4),(20,40),(7,14),...\},\{(3,9),(1,3),(20,60),(9,27),...\},...\}\) si scrive come \(\{\overline{(1,2)},\overline{(1,3)},...\}\). "Talvolta" , in questo caso particolare, si preferisce scrivere $1/2$ al posto di \(\overline{(1,2)}\)... Intendendo infatti una frazione come un insieme di elementi \((p,q)\) che si equivalgono secondo la relazione definita da \((x_1,x_2)R(y_1,y_2)\iff x_1 y_2=x_2y_1\) (infatti $1/2=20/40$ proprio perché $1\cdot 40=2\cdot 20$, cioè \((1,2)R(20,40)\)), il quoziente di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^\ast \) rispetto a questa relazione è proprio l'insieme $\mathbb{Q}$ delle frazioni.

In R2 (insieme dei numeri reali al quadrato), (x1, x2) R (y1, y2) se e solo se x2-y2=2 (x1-y1)

Non credo che ti venga richiesto di scrivere a mano gli elementi di ogni classe di equivalenza... ma forse quello che ti manda nel pallone è che non ti riesce di spiegare a te stessa "a parole" come sono fatte queste classi di equivalenza. Tieni presente che non sempre è agevole descrivere "a parole" come è fatto un oggetto matematico, ma, in questo caso, forse ti sentiresti di aver capito meglio se pensassi, come è, che le classi di equivalenza definite da questa $R$ sono insiemi di coppie di numeri reali tali che la differenza tra le ordinate (quelle con l'indice $2$) è il doppio della differenza tra le ascisse (quelle con l'indice $1$). Dato quindi un qualsiasi elemento \((x_1,x_2)\) di \(\mathbb{R}^2\), tutti gli altri elementi della sua classe di equivalenza saranno tali che la loro ordinata meno $x_2$ è il doppio della loro ascissa meno $x_1$.

1) In R (insieme dei numeri reali) xRy se e solo se e(elevato alla x)=e(elevato alla y)

La funzione definita da \(f(x)=e^x\) è iniettiva: se $e^x=e^y$ allora $x=y$, quindi in ogni classe di equivalenza c'è un solo numero reale. Quindi l'insieme quoziente, l'insieme delle classi di equivalenza -per insieme quoziente non si prende un elemento- è l'insieme di tutti gli insiemi (classi di equivalenza) che contengono un numero reale. Non so se hai pratica con le notazioni, cosa che ti raccomando di fare eventualmente su un testo diverso dal tuo, ma direi che tale insieme quoziente si possa scrivere \(\{\{x\}:x\in\mathbb{R}\}\). Come rappresentante di ogni classe, poi, non ce n'è che uno, che è l'unico numero che ogni classe contiene.

2) In T=(r:r rette del piano), rRs se e solo se r e s sono parallele
Risposta: Anche qui le proprietà sono riuscita a verificarle. Ma per quanto riguarda le classi che cosa dovrei verificare?

Le classi di equivalenza sono semplicemente gli insiemi di tutte le rette parallele tra di esse. Direi che questo è tutto ciò che è essenziale capire delle classi di equivalenza definite da questa $R$. L'insieme quoziente è poi l'insieme di tutte queste classi, ovviamente, come sempre.
Ho l'impressione che i tuoi dubbi siano in gran parte dovuti al fatto che a volte, perché non li hai mai trovati definiti chiaramente, non sai che cosa sono gli insiemi su cui la relazione in questione è definita, e che immagini di dover descrivere i vari insiemi di cui tratti in modi che hanno poco a che vedere con ciò che le classi di equivalenza e gli insiemi quoziente sono...
In questi casi, per il mio modesto parere, sarebbe fondamentale leggersi un po' di esercizi risolti.
Infatti sono un convintissimo fautore dei libri di matematica, di qualsiasi livello, con le soluzioni a tutti gli esercizi...

Ps.: non mi uccidere!

Fa piacere poter aiutare...

Ciao, scusami se rispondo adesso, ma con l'università sto impazzendo. Grazie comunque per le spiegazioni, le ho capite.
Il mio problema è di fronte agli esercizi, perché anche se in teoria capisco l'argomento, a metterlo poi in pratica affrontando gli esercizi trovo difficoltà. Dato che i libri che ho non spiegano molto, potresti consigliarmi qualche libro buono in modo che posso superare questi ostacoli che ho?
Grazie ancora!

Non saprei che cosa consigliarti... Io queste cose le ho assimilate nel contesto particolare di spazi vettoriali quozienti nei miei studi di geometria e poi negli studi di algebra, ma ti raccomando di chiedere qui.

Grazie, vedo che posso fare...
(spero che se ho bisogno in futuro, posso chiederti ancora)
Buona serata!