Chiarimento

Leggendo gli appunti di Algebra 2 trovo questa annotazione:

"Quando l'anello va a quoziente con l'ideale, mi viene zero."

Qualcuno saprebbe spiegarmi meglio questo passaggio?

Grazie anticipatamente.

La frase non mi sembra brillantissima. Comunque in generale è falso: è vero solo se l'ideale in questione è l'anello stesso.

Relativamente alla tua domanda, sai cos'è un anello quoziente?

Credo di aver capito dov'era il problema. Quello che mi veniva detto è che se l'ideale contiene un elemento unitario, allora l'ideale coincide con l'anello stesso. Di conseguenza, quando vado a quozientare l'anello su quell'ideale cosi definito, ho zero.

Un anello quoziente, devo essere sincero, ho chiara la definizione ma mi manca qualcosa che mi renda lampante quella definizione.

Gli esempi classici degli anelli quozienti di \(\displaystyle \mathbb{Z} \) li hai visti?

Si. Il punto è, ad esempio, che se ho un polinomio
f= x^3-1
e mi viene detto di calcolare il quoziente Q[x]/(f), so che teoricamente dovrei andare a vedere la classe dei resti, ma praticamente non so muovermi.

Materialmente il quoziente sarà fatto da polinomi di secondo grado con la somma normale. Il prodotto invece viene fatto modulo \(f\). Insomma ogni elemento viene mandato nel resto della divisione con \(f\) come nel caso dei numeri interi. Nel caso di anelli meno belli le cose si complicano.