Partizioni e classi di equivalenza

Buondì

Sto studiando questo teorema:

le classi di equivalenza di un insieme $A$ costituiscono una partizione di $A$

Per 'le classi di equivalenza' si intende l'insieme quoziente di $A$?

Cioè la formulazione: l'insieme quoziente di $A$ è una partizione di $A$ è equivalente?

Le classi di equivalenza formano una partizione dell'insieme, cioè suddividono l'insieme in sottoinsiemi non vuoti a due a due disgiunti la cui unione è l'insieme stesso. Mentre l'insieme quoziente è un insieme ben definito (per l'assioma della scelta) contenente solo i rappresentati di ogni classe. In sostanza con partizione non si intende un insieme ma una divisione dell'insieme con certe proprietà, quindi non può essere uguale all'insieme quoziente.

L'insieme quoziente è l'insieme delle classi di equivalenza. Quindi risponderei che sì, l'insieme quoziente è una partizione di A.

A chi devo ascoltare Io penso più che i due enunciati siano equivalenti.

Anche perché $[a]=[b] <=> aRb$ se due classi contengono uno stesso elemento, allora le classi sono uguali, questo fa sì anche che l'intersezione tra due classi diverse sia certamente vuota, e che l'Unione di tutte le classe formi l'intero insieme.

Wikipedia conferma ciò che è stato detto da Martino. Rimango comunque un pò dubbioso perché la partizione è una famiglia di sottoinsiemi dunque non un insieme.
La famiglia delle classi di equivalenza è una partizione...

\(\displaystyle \)Mh.. Certamente il teorema afferma che:

$• bigcup_(iinI)[a]_i=A$

$• [a]_icap[a]_jneemptyset <=> [a]_i=[a]_j foralli,jinI$

Quindi certamente ${[a]_i}_(iinI)$ è una partizione di $A$ e $A/R={[a]:ainA}$ ha come elementi proprio quelli della partizione.
quindi gli elementi dell'insieme quoziente, presi tutti ma singolarmente, formano una partizione di $A$

Magari suona meglio come: gli elementi dell'insieme quoziente di $A$ costituiscono una partizione di $A$

Rimango comunque un pò dubbioso perché la partizione è una famiglia di sottoinsiemi dunque non un insieme.

Una famiglia di sottoinsiemi è un insieme, dai un'occhiata qui per esempio.

quindi definita su $A$ una relazione di equivalenza $R_~$, l'insieme $A/(R_~)$ è una partizione di $A$.
Ottimo. Grazie mille

quindi definita su $A$ una relazione di equivalenza $R_~$, l'insieme $A/(R_~)$ è una partizione di $A$.
Ottimo. Grazie mille

puoi sempre dimostrarlo e farti ancora piú convinto se ti va (queste non sono calate dal cielo o tali sono per sentito dire... )

l'ho fatto.