Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
26/07/2016, 22:16
Userei il fatto che $x^2 +1$ è irriducibile, quindi $(x^2+1)$ è massimale e $(Q[x])/((x^2+1))$ è un campo.
Se nella domanda avessi avuto $Z[x]$ al posto di $Q[x]$ avrei potuto dire la stessa cosa?
26/07/2016, 23:47
jitter ha scritto:Userei il fatto che $x^2 +1$ è irriducibile, quindi $(x^2+1)$ è massimale e $(Q[x])/((x^2+1))$ è un campo.
Se nella domanda avessi avuto $Z[x]$ al posto di $Q[x]$ avrei potuto dire la stessa cosa?
$(x^2+1)$ è irriducibile in $Z[x]$ , pertanto usando il tuo stesso ragionamento concludiamo che: $(Z[x])/((x^2+1))$ è un campo. (Nota che ciò vale perché $Z[x]$ è un anello.)
27/07/2016, 09:19
Perfetto grazie mille
31/07/2016, 11:18
Ennò!
Il fatto che \( x^2+1 \) sia irriducibile non garantisce affatto che l'ideale che genera sia massimale in \(\mathbb Z[x]\), e infatti non lo è! Ad esempio si ha l'inclusione stretta \( (x^2+1)\subset (x^2+1,2).\)
31/07/2016, 11:39
Ahia, hai ragione. Per Q[x] posso dirlo perché è un PID...
grazie per la correzione!
31/07/2016, 15:01
jitter ha scritto:Ahia, hai ragione. Per Q[x] posso dirlo perché è un PID...
grazie per la correzione!
Ciao,
ti segnalo
questo intervento di Martino sugli ideali massimali di $\mathbb{Z}[x]$ e
questa dispensina(una pagina) che mi ha linkato Martino in un altro topic. Magari può tornarti utile
Ciao
31/07/2016, 17:01
Uh sì, può venirmi utile darci un'occhiata, anche perché è un argomento nuovo per me e sto facendo un po' di fatica a crearmi un quadro sintetico chiaro. Grazie
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