Automorfismi di un campo

Sì adesso ha più senso. Sei comunque troppo sintetico, io aggiungerei "perché $1$ e $beta$ sono linearmente indipendenti su $QQ$". Inoltre va scritto che $a,b,a',b'$ li prendi in $QQ$.

Scusa perché va specificato che $1,beta$ sono linearmente indipendenti su $Q$?
Se ho supposto $beta$non appartenente a $Q$?
Se lo fossero $beta$ dovrebbe appartenere a $Q$.

Ed $a, a', b, b'$ era chiaro che sono elementi appartenenti a $Q$

Sì ma è chiaro solo per chi ha letto questo argomento dall'inizio. Per questo dico che è importante scrivere una dimostrazione dall'inizio alla fine e non "spezzettata", perché se no è difficile recuperare quello che si sta dicendo.

Per $n=3$ con $P(x)$ irriducibile ed $Q(alpha)=Q(beta)=Q(gamma)$ avrò esattamente $3$ automorfismi, in generale con $P(x)$ irriducibile di grado $n$ ed $x_1,x_2,...,x_n$ le sue radici distinte ed $Q(x_1)=Q(x_2)=...=Q(x_n)$ avrò esattamente $n$ automorfismi, con $[E:Q]=n$. Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E:Q]=n!$ giusto?

Se comunque scelti $x_i, x_j$ appartenenti all'insieme delle soluzioni $(x_1,x_2,...,x_n)$ si ha che $x_i$ non appartiene ad $Q(x_j)$ allora il gruppo di automorfismi avrà ordine $n!$ è sarà $[E:Q]=n!$ giusto?

No questo è falso, penso che il controesempio più piccolo sia dato da un polinomio irriducibile di grado $4$ con gruppo di Galois $A_4$ (per esempio $f(X)=X^4+8X+12$). In questo caso gli stabilizzatori delle radici sono $4$, due a due distinti, e quindi i corrispondenti campi $QQ(x_i)$ (tramite le corrispondenze di Galois) sono anch'essi due a due distinti e hanno tutti grado $4$ su $QQ$, quindi non può succedere che $x_i \in QQ(x_j)$ se $i ne j$. Tuttavia $|E:QQ|=|A_4|=12 ne 4!$ $=24$.

Grazie per le risposte!
Nel caso di un polinomio irriducibile in $Q$ di grado $3$ avente gruppo di galois $S_3$, quindi composto da tutte le possibili permutazioni tra le radici ${x_1,x_2,x_3}$, non dovrebbe risultare $E=Q(x_1,x_2,x_3)=Q(x_1,x_2)=Q(x_2,x_3)=Q(x_3,x_1)$
Mi sbaglio?

Mi sbaglio?

No non ti sbagli.

Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?

Non ti sbagli, ma non capisco bene che senso abbia chiedere conferme su frasi isolate senza particolare interesse per quello che conta davvero, cioè le dimostrazioni.

Ok!
Nel caso di un polinomio quadratico di $4°$ come ad esempio $x^4-x^2 +1$ il gruppo di galois non può avere ordine che $4$ oppure $8$, mi sbaglio?

Che poi oltretutto così formulato non è neanche vero, dipende dal campo di base.