Inversi sinistri (molto sinistri :\) e destri

$A A^t = (A^t A)^t = I^t = I$?

Caspita mi sa che hai ragione!

forse ricordo male

In che senso ricordi male? Intendi sulla proprietà della trasposta? (Non ho ben capito il punto "dubbio"). In tal caso no, mi sembra proprio applicato correttamente! Più banalmente non ci avevo pensato

Edito:
Ma sai che riguardandoci non sono del tutto sicuro, ci pensavo cenando:
$A A^t= ((A^t)^tA^t)^t=(A A ^t)^t$insomma, non ottengo un granché

Edito e 2: mi accorgo solo ora che Martino è già intervenuto, ma mi sembra confermare il mio primo edit , sollievo!

Edito: sistemo mille errori di battitura e formattazione formule (mai rispondere dal Cell è un macello)

Ultima modifica di serafinon il 29/04/2023, 23:20, modificato 6 volte in totale.

In generale $(AB)^t=B^tA^t$ e quindi $(A A^t)^t= (A^t)^t A^t = A A^t$.

Vorrei porre una domanda @ Martino su questo punto che mi interessa:

quando esiste un elemento inverso sinistro x di y, non è detto che esista l'inverso destro, io sono nella condizione $x*y=I => y*x*y=y$ quindi sono esattamente nella condizione $(y*x)*y=1*y$ (1 neutro della nostra poerazione diciamo), tuttavia mica è vero che posso confrontare il membro a sinistra e a destra e giungere a dire che $y*x=1$, perché il confronto per cui asserirei questo è la "cancellazione" di y che prevederebbe l'esistenza dell'inverso x' (magari anche uguale a x) destro che voglio proprio dimostrare esistere. Ma non è mica sempre vero che esista e che sia il medesimo (dx e sx) proprio per questo motivo. (sbaglio?)

La prima è questa: ma se io ho $(y*x)*y=y$ ovviamente per cancellazione otterei $(x*y)=1$ (quindi come dice l'OP ho bisogno dell'inverso). Ma d'altra parte c'è un punto che mi è dubbio. Se considero $(y*x)*y=y$ c'è davvero bisogno del confronto? Mi pare che unicamente $(y*x)=1$ possa rendere vera l'uguaglianza. In che altro modo se non avendo 1 avrei $1*y=y$ vera?

ovviamente per cancellazione otterei $(x*y)=1$

Chi ti dice che puoi cancellare $y$?

Prova a scegliere

$x=((1,0),(0,1))$

$y=((1,0),(0,0))$

con l'usuale moltiplicazione tra matrici. Allora $x=1$ (matrice identica) e quindi $x*y=y*x=y ne 1$. D'altra parte $y*y=y$ e quindi $(y*x)*y=y$.

Ho detto una minghiatona avete ragione

Grazie.

Forse puoi anche vederla così:
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.

Mi sembra coerente, no?

Forse puoi anche vederla così:
$A^t*A=Id$ quindi $det(A^t*A)=det(Id)$ facilmente $det(A)=+-1!=0$, quindi invertibile.
Ora, siccome invertibile (e vale associatività), inversa sx e dx coincidono ed è unico l'inverso, quindi: $A^t*A=Id$ ci dice che è inversa sx (coincidendo con la def. di inverso sx), ma varrà che (essendo unico) $A*A^t=Id$ => è ortogonale.

Mi sembra coerente, no?

Ho visto che nessuno ha più letto

Sì Il_Gariboldi hai detto cose esatte. Tuttavia osserva che il punto della discussione era incentrato nel fatto che se esiste un'inversa a sinistra allora esiste un'inversa a destra. Cioè la discussione riguardava la dimostrazione di questo fatto.

Grazie per la conferma

Forse ho travisato ma a me pareva il dubbio oltre che sugli inversi fosse:

Riporto precisamente le proprietà elencate in ordine "cronologico" del testo:
P1) $A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$. in definitiva $A^tA=I =>A A^t=I$, quindi la proprietà che vuole mostrare è che se $A^tA=I$ ho che A è sicuramente ortogonale (senza dover verificare l'altro "lato").

La dimostrazione dovrebbe seguire questi passi, stando al libro:
$A^tA=I => A A^tA=A$ quindi si deduce che $(A A^t)A=A$ è $(I)A=A$.