14/11/2023, 16:32
15/11/2023, 03:22
16/11/2023, 20:13
se per (c) intendi "due qualsiasi primitive (in un intervallo) differiscono per una costante"
Se invece per (c) intendi "una funzione integrabile ha infinite primitive"
Credo di non capire perché i due teoremi sopra portino al c), vediamo se riesco a spiegare dove mi inceppo e se la soluzione che mi sono dato è corretta...
il thm a) ci dice che presa una funzione F primitiva posso trovare infinite (altre) primitive aggiungendo una arbitraria costante e una alla volta ne ho infinite che sono di nuovo primitiva. Benissimo. Però questo non dimostra che io potrei avere delle (differenti) primitive che non si ottengano per somma di una costante.
Ora prendo b) e dico: due qualunque primitive sono "distanziate" da una costante reale c, però questo non dimostra che siano infinite le soluzioni, però come detto in a) erano infinite quindi i due a) e b) mi danno c)
E' giusto? non mi sento tanto sicuro.
Mettiamo di avere due insiemi A e B, in generale si possono svolgere due dimostrazioni.
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) se dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)
18/11/2023, 21:09
19/11/2023, 16:23
la prima cosa che mi interessava chiederti è quindi, in questa parte quotata stai sfruttando la seguente interpretazione se non sbaglio?Martino ha scritto:Fissiamo una primitiva $F$ di $f$ (su un intervallo). Sia $A$ l'insieme di tutte le funzioni $F+c$ con $c$ costante e $B$ l'insieme di tutte le primitive di $f$. Il punto (a) ti dice che $A$ è un sottoinsieme di $B$, mentre il punto (b) ti dice che $B$ è un sottoinsieme di $A$. Quindi $A=B$.
Se invece per (c) intendi "una funzione integrabile ha infinite primitive" allora segue da (a) e (b) perché data una primitiva F, se ci aggiungi una costante qualsiasi ottieni un 'altra primitiva.
Sul punto 1, se per (c) intendi "due qualsiasi primitive (in un intervallo) differiscono per una costante" allora da a e b non segue c. Per mostrare c ti serve il cosiddetto teorema del valor medio, che implica che se una funzione ha derivata nulla in un intervallo allora è costante in tale intervallo
Mettiamo di avere due insiemi A e B, e ammettiamo di essere riusciti a svolgere due dimostrazioni (seguenti):
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
da (s+t) Allora concludo che ho un elemento di A se e e solo se ho un elemento di B. Cioè in poche parole ho una biunivocità tra i due elementi. (detto malamente ma credo utile per capire meglio la domanda: non ci sono elementi scoperti tra A e B e sono collegati tutti quelli di A a quelli di B e non "salto" alcun elemento in B)
E' corretto come ragiono(?):
Mi confonde un po' questo concetto per via del ragionamento seguente:
s) con la prima parte posso dimostrare che ogni elemento di A ne ha uno in B, ma B potrebbe avere elementi non "collegati" a nessuno di A. Questo primo problema è risolto dal punto seguente:
t) se con la seconda dimostro però che ogni elemento di B ha un corrispettivo in A allora, noto che B non aveva elementi scoperti come supponevo in s) però potrei ancora dire che in A mancano degli elementi collegabili a B. Tuttavia per via della prima parte dimostrata mi pare di capire che questo non è possibile e questo conclude il ragionamento.
In realtà questo discorso è anche un poco più generale della doppia inclusione, dato che io non dico che l'elemento di A appartiene a B, dico solo che sono legati
Quello che voglio dire è questo: il punto (a) mi dice che presa una F primitiva trovo infinite primitive F+c usando un c in R (con questa dimostrazione io so che ne ho infinite di primitive, ma non so il "viceversa": potrebbe benissimo esistere una primitiva che non si ottiene come F+c). Cioè formalmente A⊆B
E' invece il ragionamento (b) a dirmi che ogni primitiva è "distanziata" da una seconda primitiva qualsiasi da c in R. Come dicevo però (b) non garantisce che le soluzioni siano infinite (devo sfruttare appunto (a)). In sostanza B⊆A
Per questo vi è la doppia inclusione:
se dico A è l'insieme di tutte le funzioni F+c con F primitiva di f e B l'insieme di tutte le primitive di f, sfruttando (a) dimostro che "tutte le F+c sono primitive", quindi per ogni elemento di A ho gli elementi di B.
Tuttavia non sappiamo ancora se tutti gli elementi di B hanno un corrispondente in A (ossia se sono della forma F+c). Lo dimostro tramite (b).
19/11/2023, 16:27
19/11/2023, 16:38
Mi fermo già qui, quello che scrivi non ha nessun significato. Cosa vuol dire matematicamente che "per ogni elemento di A ho un elemento di B"? Non significa niente. Sarebbe diverso se scrivessi "ogni elemento di A appartiene a B", questo ha perfettamente senso ed è la stessa cosa che dire che $A$ è contenuto in $B$.Mettiamo di avere due insiemi A e B, e ammettiamo di essere riusciti a svolgere due dimostrazioni (seguenti):
s) si dimostra che a ogni elemento di A ne corrisponde uno di B (cioè per ogni elemento di A ho un elemento in B)
t) dimostro anche che: per ogni elemento di B ho sempre un elemento di A.
21/11/2023, 11:55
[A]Mi fermo già qui, quello che scrivi non ha nessun significato. Cosa vuol dire matematicamente che "per ogni elemento di A ho un elemento di B"? Non significa niente. Sarebbe diverso se scrivessi "ogni elemento di A appartiene a B", questo ha perfettamente senso ed è la stessa cosa che dire che A è contenuto in B.
Devi sforzarti di scrivere le cose in modo logicamente e matematicamente corretto. Scrivere cose tipo "se ho un elemento di A, allora ho un elemento di B" non ha senso.
21/11/2023, 12:32
22/11/2023, 21:01
Mi piacerebbe tanto chiederti 3 approfondimenti sulla questione. In questo post metto i primi due per non far venire uno scritto troppo pesante.
Da quello che ho capito dopo la tua risposta (assumendo che tutte le funzioni siano definite su un intervallo),
(a) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ e $c$ è una costante, allora $F+c$ è una primitiva di $f$.
(b) Se $F$ e $G$ sono due primitive di $f$, esiste una costante $c$ tale che $G = F+c$.
(c) Se $F$ è una fissata primitiva di $f$ allora l'insieme delle primitive di $f$ è uguale all'insieme delle funzioni del tipo $F+c$ con $c$ costante.
Come dicevo, da (a)+(b) segue (c)
Fissiamo una primitiva F di f (su un intervallo). Sia A l'insieme di tutte le funzioni F+c con c costante e B l'insieme di tutte le primitive di f. Il punto (a) ti dice che A è un sottoinsieme di B, mentre il punto (b) ti dice che B è un sottoinsieme di A. Quindi A=B
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