Dominio, algebra e pure finito dimensionale

Buonasera. E' vero che un dominio $D$ che è anche una $\mathbb{K}$-algebra con $\text{dim}_\mathbb{K}(D)<+\infty$ è anche un campo? Se sì perché?

Sì è vero. Infatti prendi $x\in D$. Siccome $D$ è finito dimensionale, gli elementi $1,x,x^2,\ldots,x^n$ sono linearmente dipendenti su $K$ per qualche $n$. Questo significa che $a_ix^i+a_{i+1}x^{i+1}+\ldots+a_nx^n=0$ con gli $a_j\in K$ e $a_i\ne 0$. Segue che $a_ix^i=-x^i\sum_{j=1}^{n-i}a_{j+i}x^j$, ma siccome $D$ è un dominio $x^i$ si può cancellare, e quindi $1=x\cdot\left(-a_i^{-1}\sum_{j=0}^{n-i-1}a_{j+i+1}x^j\right)$, ovvero $x$ è invertibile.

Bella dimostrazione!