18/02/2024, 08:17
Sinceramente mi sono perso, non so di cosa stai parlando. Non puoi mettere i quantificatori così a caso. Se hai una proposizione che dipende da $a,b$ quella dipende da $a,b$ e basta, se poi quantifichi $a,b$ dappertutto (o solo in alcune parti) quello che ottieni sarà un'altra proposizione. Il tuo "devo immaginarlo come" non ha senso.pistacios ha scritto:In generale quindi quando troverò qualcosa tipo: $((A(a,b)=>B(a,b)) and (C(a,b)=>D(a,b))=>(E(a,b)=>D(a,b))$ se viene poi riscritto così: $((A=>B)and(C=>D))=>(E=>D)$ devo immaginarlo come:
$(foralla,b,(A(a,b)=>B(a,b)) and (foralla,b(C(a,b)=>D(a,b))))=>(foralla,b(E(a,b)=>D(a,b)))$
io invece lo leggevo come un $forall$ davanti a tutto. Ecco perché non mi tornavano le cose.
Sì mi pare corretto (ma bisogna sistemare le parentesi).$(forallx(A(x)=>B(x))=>(forally(C(y)=>D(y))$ se non ricordo male l'ho trovato scritto come (cioè <=>)
$forally{[forallx,(A(x)=>B(x)and(C(y)]=>[D(y)]}$
Non capisco di che trucchetto parli. Inoltre la domanda "funziona per puro caso?" non la capisco, è come se io ti chiedessi "2+2=4 per puro caso?".Cioè il mio trucchetto funziona per puro caso?
No non va bene, la prima formulazione è quella giusta, io la scriverei così però:Infine qui
$∀c∈A,[(∃a,b∈A:c=ab)⇒(c=ab=1)] => ∀a,∀b,[(a∈A,b∈A)⇒(ab=1)]$
mi hai fatto accorgere che non ho quantificato a,b ma mi chiedo come farlo in modo sensato, forse così?
$∀c∈A,[∃a,b∈A:((c=ab)⇒(c=ab=1))] => ∀a,∀b,[(a∈A,b∈A)⇒(ab=1)]$
ho cambiato le parentesi.
18/02/2024, 21:16
mi sono spiegato male ma intendevo dire semplicemente che rileggendo degli appunti che avevo ricordo che il professore avesse scritto una frase del genere:Sinceramente mi sono perso, non so di cosa stai parlando. Non puoi mettere i quantificatori così a caso.
intendevo dire che se parto da $(∀x,(A(x)⇒B(x))⇒(∀y,(C(y)⇒D(y))$ e uso il mio "trucchetto" di scopettare sotto al tappeto i quantificatori trovo $(A⇒B)⇒(C⇒D)$ che è facilmente possibile riscrivere con $[(A⇒B)and]⇒D$ molto simile a $∀y{[∀x,(A(x)⇒B(x))andC(y)]⇒[D(y)]}$. Cioè in poche parole, sbagliando viene giusto. Ma era solo una osservazione senza grande profondità e mi chiedevo chissà come mai pur sbagliando approccio funziona.Non capisco di che trucchetto parli. Inoltre la domanda "funziona per puro caso?" non la capisco, è come se io ti chiedessi "2+2=4 per puro caso?".
Sì mi pare corretto (ma bisogna sistemare le parentesi).
No non va bene, la prima formulazione è quella giusta, io la scriverei così però:
18/02/2024, 22:36
Non è possibile sapere quale delle diverse versioni che hai scritto intendesse il tuo prof o chi per lui, l'unico modo per saperlo con certezza è chiederglielo.pistacios ha scritto:da qui erano originati i dubbi, perché sembrava aver fatto sparire i quantificatori.
Hai scritto una proposizione vera, l'hai manipolata un po' e ne è uscita un'altra proposizione vera. Può capitare. Ma le manipolazioni sono fatte sostanzialmente a caso e la verità si è mantenuta per caso.Che funzioni nonostante l'errore non è curioso?
Non è una regola, è un fatto ovvio e sinceramente non ritengo che meriti molta spiegazione. Inoltre il "per ogni y" non è obbligato a finire davanti, nella versione equivalente che hai scritto tu è comparso il $AA y$ davanti, ma non eri obbligato a scegliere quella versione.perché il "per ogni y" finisce davanti a tutto è una regola che non ho capito appieno
Certo che sono entrambe possibili. Perché una scrittura sia possibile basta che abbia una corretta struttura sintattica (sto comunque cercando di interpretare cosa intendi con "scrittura possibile").$(∃x:P(x))=>(∃x:Q(x))$ e $∃x:[P(x)=>Q(x)]$, sono entrambe possibili come scritture no?
19/02/2024, 11:44
tramite logica proposizionale/tavola.Vorrei dimostrare che una relazione simmetrica e antisimmetrica è una uguaglianza dati a e b in relazione R tra loro. Cioè questo: [ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
Hai scritto una proposizione vera, l'hai manipolata un po' e ne è uscita un'altra proposizione vera.
19/02/2024, 13:28
Se da un lato hai "(∀x,P(x))⇒(∀x,Q(x))" e decidi di chiamare $P$ la proposizione (∀x,P(x)) e di chiamare Q la proposizione (∀x,Q(x)), è ovvio che $P => Q$, stai solo dando un nome diverso alle singole proposizioni. Fine.pistacios ha scritto:[...] se l'insieme universo da cui pesco le x è quello da te proposto {3 gatti bianchi, 1 cane bianco} allora mi accorgo che redigendo la tavola logica non troverei mai quella tipica dell'implicazione, perché la 1' è sempre vera. Quindi in generale non è vero che (∀x,P(x))⇒(∀x,Q(x)) è equivalente a P=>Q.
Questo tuo "niente di più falso" è stranissimo perché sembra che tu stia attribuendo a $P$ il significato di $AA x P(x)$ quando invece il significato di $P$ lo decidi tu, non è obbligato da un'entità superiore. Inoltre la proposizione "ogni numero naturale è pari oppure ogni numero naturale è dispari" è ovviamente falsa, e quindi?uno dice potrei scriverla come $P or D$, niente di più falso perché $[∀x,P(x) or ∀x,D(x)]$ è falsa e basta, non c'è nessuna tavola di verità.
Ti stai perdendo in un bicchier d'acqua. Si può rendere come tabella di verità perché prima hai fissato un (qualsiasi) $x$ e hai scritto la tabella relativa ad $x$. Cioè tu hai una cosa tipo $AA x U(x)$, dove $U(x)$ è la proposizione "$((P(x) and not Q(x)) => R(x)$". E' ovvio che puoi fissare un qualsiasi $x$ e scrivere la tabella della proposizione $U(x)$. Poi mostri che $U(x)$ è equivalente a $not (P(x) and not Q(x))$ (che possiamo chiamare $W(x)$) facendo una tabella di verità (qui non ci sono quantificatori). Hai così dimostrato che $U(x)$ è equivalente a $W(x)$. Siccome questo vale per ogni $x$ ottieni che $(AA x U(x)) <=> (AA x W(x))$.Ecco, questo è un ottimo esempio che esemplifica il punto che non comprendo: perché qua posso usare la tavola di verità e rendere (P and Q)=>False e mostro che è equivalente a $¬P and ¬Q$? E il quantificatore $forallx$?.
Te lo spiego subito: perché se tu sai cheEcco, anche qui si è potuto sostituire il $(foralla,b, aRb => forall a,b, bRa)$ con $X => Y$ così come $(foralla,b, ((aRb and bRa) => a=b))$ lo scrivo come $(X and Y) => Z)$ ecc.. per gli altri termini. E questo è un caso in cui $(∀x,P(x))⇒(∀x,Q(x))$ diventa $P=>Q$. Ma per me è una magia qui ad esempio funziona, con la questione dei gatti no. Perché?
Ma non è un problema, però devi trattare i quantificatori $AA$, $EE$ come connaturati nella struttura logica delle dimostrazioni e non come qualcosa che dovrebbe saltar fuori da solo dalle tavole di verità. Il motivo per cui $¬∀x,(P(x)⇒Q(x))$ equivale $∃x,(P(x)and¬Q(x))$ è connaturato nel significato dei simboli $AA$, $EE$, che appunto sono legati dal fatto che in generale dire $not AA x (P(x))$ equivale a dire $EE x (not P(x))$.è sbagliato dire che $¬∀x,(P(x)⇒Q(x))$ equivale $∃x,(P(x)and¬Q(x))$ per via del fatto che $¬(P⇒Q) <=> P and ¬Q$. Infatti la prima usa quantificatori e la seconda no, sono quindi due piani ben diversi se ho capito qualcosa di quanto finora detto.
19/02/2024, 15:09
20/02/2024, 21:22
ed è quindi qui che mi incasino, perché se prima abbiamo detto che non è corretta quella "semplificazione" del quantificatore, perché ora si può fare? Credo semplicemente che quello che ho scritto non sia la giustificazione che cercavo, ma non so quale sia allora.E' ovvio che puoi fissare un qualsiasi x e scrivere la tabella della proposizione U(x). Poi mostri che U(x) è equivalente a
qui non sono sicuro di aver capito appieno, quindi vedo di ri-esporre per esser sicuro di averti compreso.Te lo spiego subito: perché se tu sai che
anche qui il mio errore era sempre quello:è sbagliato dire che $¬∀x,(P(x)⇒Q(x))$ equivale $∃x,(P(x)and¬Q(x))$ per via del fatto che $¬(P⇒Q) <=> P and ¬Q$. Infatti la prima usa quantificatori e la seconda no, sono quindi due piani ben diversi se ho capito qualcosa di quanto finora detto.
21/02/2024, 10:41
Qui comunque vedo una confusione: non si capisce cosa intendi quando dici "una proposizione vera e propria". Se io dico "2+2=4" questa è una proposizione vera e propria? Direi proprio di sì. Sembri pensare che una proposizione vera e propria debba non avere un valore di verità assegnato, invece potrebbe averlo.pistacios ha scritto:scambiavo l'abuso di notazione di scrivere $P$ al posto di $P(x)$ con il rendere effettivamente P(x) una proposizione P vera e propria (che quindi potesse assumere valore vero o falso) e quindi da questo errore poi costruivo tavole di verità su qualcosa che non erano proposizioni, bensì predicati e quindi portava a immancabili errori.
Ma certo, e quindi? Fai un esempio più semplice: la proposizione "2+2=5" è falsa e basta, non ha senso scrivere la sua tabella di verità. La tabella di verità va scritta solo quando hai una proposizione composta da varie parti ognuna delle quali può potenzialmente assumere ciascuno dei due valori di verità possibili. Per esempio posso voler dimostrare che "$((P => Q) and P) => Q$ (modus ponens) per qualsiasi scelta di $P,Q$, e qui devo fare una tabella di verità perché $P$ e $Q$ sono qualsiasi. Se invece voglio mostrare che $P => Q$ qui la tabella di verità mi dirà che questo non è sempre vero, tuttavia se scelgo $P$ uguale alla proposizione (falsa) "2+2=5" allora improvvisamente $P => Q$ diventa vera. Ridotta all'osso, la tua confusione è dovuta al fatto che pensi che una "proposizione" sia un enunciato a cui puoi attribuire ciascuno dei due valori di verità, cosicché "2+2=4" per te non sarebbe una proposizione (invece lo è). Se io voglio dimostrare il modus ponens di cui sopra, è sottinteso che lo voglio dimostrare per ogni scelta delle due proposizioni $P$ e $Q$ (e non solo per alcune). Questo "per ogni $P,Q$" si traduce nel fatto che sia $P$ che $Q$ potranno assumere tutti i valori di verità possibili e questo si traduce nella necessità di una tabella di verità.A) il primo a turbarmi è che come detto in via generale vale che: $(∀xP(x))⇒(∀xQ(x))$ lo posso vedere come un $P=>Q$ nominando P=∀xP(x) e Q=∀xQ(x). Quindi in generale mi aspetto che abbia una sua tavola di verità con i tipici 4 valori di verità che può assumere.
Tuttavia mi sembra che non funzioni sempre, infatti se poniamo P(x)="x è un gatto" e Q(x)="x è nero" e prendiamo l'insieme universo {3 gatti bianchi, 1 cane bianco} allora in questo caso specifico P=∀x,P(x)="ogni x è un gatto" e Q=∀x,Q(x)="ogni x è nero", ci accorgiamo che P=>Q non ha una tavola di verità dell'implicazione logica: è solo falsa e basta.
Te l'ho già spiegato (rileggi il mio intervento precedente): tu vuoi dimostrare cheprima mi funzionavano perché operavo questa sostituzione errata (*) e funzionava, ma ora che so che questo processo è sbagliato, come è corretto invece vederle?
Te l'ho già detto: ti devi ricordare che $not AA x P(x)$ è equivalente a $EE x (not P(x))$.Si ok, ma sbaglio con i quantificatori per il solito motivo suddetto. E quindi la domanda è: come si giustifica? Io sbagliavo. ma non capisco come tenere "connaturati" i quantificatori.
21/02/2024, 10:59
Martino ha scritto:tu vuoi dimostrare che
(*) $(AA x P(x)) => (AA x Q(x))$
e INVECE di dimostrare questo, scegli di dimostrare la seguente
(**) $AA x (P(x) => Q(x))$
che è una proposizione più forte e implica (*) (cioè (**) implica (*)).
21/02/2024, 20:56
hai capito benissimo e questa era una cosa che in effetti non capito e la "prima categoria" di errori nasceva da questo mio malinteso. Io immaginavo che P=>Q dovesse avere sempre 4 valori perché partivo proprio da quel presupposto errato che menzioni.Ridotta all'osso, la tua confusione è dovuta al fatto che pensi che una "proposizione" sia un enunciato a cui puoi attribuire ciascuno dei due valori di verità
a scanso di equivoci, questo in realtà l'avevo già capito nel messaggio prima del tuo ultimo (non per merito mio, ma perché semplicemente me l'hai spiegato molto chiaramente), ma era un errore che facevo in principio. Nell'ultimo messaggio l'avevo riscritto solo per dire "prima pensavo funzionasse per questo motivo ma ora ho capito che non è così ma in certi punti non capisco il reale ragionamento"Continui a scrivere cose tipo "A diventa B" (dove A e B sono proposizioni) ma la verità, in generale, è che A non diventa B, semplicemente invece di dimostrare A scegli di dimostrare B.
la tua può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z) che è una tautologia
quando ho detto "diviene" intendevo (come spiegavo sopra) che evidenziavo il mio ragionamento errato (conscio ora che fosse errato) ma chiedevo: come si fa allora in modo corretto?C) Prendiamo la [∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)) con R(x) sempre falsa]=[∀x,(P(x)⇒(Q(x))] (k). Nel mio modo errato di procedere l'avrei giustificata così: ∀x,((P(x)and¬Q(x))⇒R(x)) diviene (Pand¬Q)⇒F (con F false), quindi:
dove precisamente io pensavo "diventassero". Ora il mio dubbio è molto più pragmaticamente che non so come concludere le due avendo capito i tuoi suggerimenti(*) (cioè (**) implica (*)). Quindi (*) non diventa (**)
Ripeto di nuovo: per fare dimostrazioni le tavole logiche non bastano.
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