Costruzione del campo di spezzamento

È sottinteso che ogni volta aggiunge una radice di un fattore irriducibile (e l'irriducibilità dei $p_i(x)$ ovviamente può cambiare nel passare da un campo all'altro). Cioè il fattore che prende di volta in volta non è necessariamente uno dei $p_i$.

L'argomento lo capiresti molto meglio se tu studiassi il principio di induzione (che non è altro che una riformulazione del principio del buon ordinamento di $NN$).

La funzione $phi$ di cui parli alla fine non è un isomorfismo di campi perché se chiamiamo $a=sqrt(2)$, $b=sqrt(3)$, se $phi$ fosse omomorfismo di campi avremmo
$2=1+1=phi(1)+phi(1)=phi(1+1)=phi(2)=phi(a^2)=phi(a)^2=b^2=3$
una contraddizione.

Grazie per le risposte ed la pazienza!
Nell'esempio che ho riportato, hai ragione ho sbagliato, infatti $QQ[sqrt2]$ ed $QQ[sqrt3]$ sono isomorfi come spazio vettoriali, ma non come campi, un isomorfismo può essere ad esempio $phi(sqrt2)=-sqrt2$, $phi(sqrt2)=-sqrt(2)$, $phi(sqrt3)=-sqrt3$, $phi(-sqrt3)=sqrt3$, giusto?
Ritornando al discorso dell'unicità del campo di spezzamento, per potere utilizzare un argomentazione induttiva si ha bisogno di una grandezza a valori interi, e per l'estensione di campo viene naturale utilizzare la dimensione di $E$ sul campo di partenza $F$, mi sbaglio?
Per $|E:F|=1$ è banalmente vero perché $E=F$.
Anche per $|E:F|=2$ è vero perché si ha $E=F(a)=F(b)$ con $a$ e $b$ radici di un polinomio di secondo grado, irriducibile, ed$F[a]~~F[b]$ secondo l' isomorfismo che porta $a$ in $b$ giusto?
Quindi la base dell'induzione è assicurata.
Ora per poter dimostrare che è vero per ogni $n$ devo far vedere che ciò implica che sia vero anche per $n+1$ , come posso fare agendo sulla dimensione?

come posso fare agendo sulla dimensione?

Studiando sono cose che trovi sul libro "basic algebra I" di Jacobson. Io non sono disponibile a scriverti qui tutta la dimostrazione.

Anche per $|E:F|=2$ è vero perché si ha $E=F(a)=F(b)$ con $a$ e $b$ radici di un polinomio di secondo grado, irriducibile, ed$F[a]~~F[b]$ secondo l' isomorfismo che porta $a$ in $b$ giusto?

No, non è giusto. Se non scrivi tutti i dettagli di tutte le dimostrazioni non farai mai neanche un passo in avanti nella tua comprensione dell’argomento. Inoltre, come sia io che Martino ti ripetiamo da anni, tu non hai bisogno di un testo di teoria di Galois, tu hai bisogno di cancellare tutto quel poco che credi di sapere di teoria di Galois, aprire un libro di Algebra I e studiarlo da pagina 1 in poi, facendo tutti gli esercizi. Poi devi fare la stessa cosa con un libro di algebra lineare. Dopodichè puoi iniziare a pensare di capire qualcosina di teoria di Galois.

Appena posso mi procurerò il testo basic in algebra, come mi avete consigliato, nel frattempo però riporto la dimostrazione del testo di cui sono in possesso.
Premetto che se voglio dimostrare che due campi di spezzamento di uno stesso polinomio sono isomorfi,attraverso il processo induttivo devo usare un indicatore a valori interi, e cosa di piu naturale se non la dimensione dell'estensione sul campo base, giusto?
Cioè supponiamo che il risultato sia vero per ogni campo
$F_0$ e per ogni polinomio $f(x)$ a coefficienti in $F_0$ , tali che$|E:F_0|<n$ con $E$ campo di spezzamento , giusto?
Siamo $F$ ed $F'$ due campi sia $phi'$ un isomorfismo tale che $phi(a)=a'$, questo si estende da $F[x]$ ad $F'[x]$ tale che $phi'(a_0x+a_1x+...+a_nx^n)=phi'(a_0)x+phi'(a_1)x+...+phi'(a_n)x^n=a'_0+a'_1x+...+a'_nx^n$, sin qui sono stato chiaro?
Andiamo ora direttamente al teorema da dimostrare:
Sia $f(x)$ un polinomio irriducibile di $F[x]$ con $F$ campo, e sia $E_1$ un un campo di spezzamento di $f$ su $F$ , sia $E_2$ un campo di spezzamento di $f'$ $in$ $F'[x]$ su $F'$ allora esiste un isomorfismo $sigma :$ $E_1->E_2$
con $sigma|F=phi'$
Procedendo per induzione sul grado $|E_1:F|$, se
$E_1:F|=1$ si ha $E_1=F$ quindi $F$ contiene tutte le radici $alpha_i$ di $f$ ed $E_2$ di conseguenza contiene tutte le radici $alpha'_i$ di $f'$ pertanto sara $E_2=F'$ , avremo allora $sigma$ $=$ $phi'$
Supponiamo ora che sia $ |E_1:F|>1$, sia inoltre $alpha_1$ $in$ $E_1$ una radice di $f$ ed $alpha_2$ una radice di $f'$ $in$ $E_2$, sappiamo che esiste un isomorfismo tale che $F[alpha_1] ~~F'[alpha _2]$ e che manda $a$ in $a'$ per ogni $a$ $in$ $F$.
Osserviamo che $|E:F|=|E_1:F[alpha_1]||F[alpha_1]:F|$ per
la formula dei gradi, e poiché $F[alpha_1]:F>1$ segue che
$|E_1:F|>|E_1:F[alpha_1]$.
Inoltre $E_1$ è un campo di spezzamento di $f$ su $F[alpha_1]$ mentre $E&2$ è un campo di spezzamento di $f'$ su $F[a_2]$
Conclude dato che $| E_1:F|>|E_1: F[alpha_1]|$ possiamo concludere per induzione..Ecco quest'ultima parte non l'ho capita!

Per ipotesi induttiva, il risultato vale per gradi minori di $|E_1:F|$. A me sembra chiaro. Se non lo capisci è perché devi studiare cosa significa dimostrazione per induzione.

La cosa che mi lascia perplesso è la seguente :
sia $p^n(x)$ un polinomio a coefficienti nel campo $F$ ed ivi irriducibile , siano $alpha_1$ ed $alpha_2$ due sue radici, risulterà $F[alpha_1]~~F[alpha_2]$ , supponiamo che $p_1^(n-1)(x)=(p(x))/(x-alpha_1)$ risulti irriducibile sul campo $F[alpha_1]$ ciò non implichi che $p_2^(n-1)=(p^n(x))/(x-alpha_2)$ lo sia su $F[alpha_2]$.
Potreste supportarlo con un esempio?
Grazie!