Composizione di funzioni

Avevo provato a porre questa domanda senza nessun vero aiuto, forse perché molto stupida, e volevo per questo provare a riproporla perché è un dubbio che mi tormenta da qualche tempo e non riesco a formalizzare la questione.

Siano le funzioni:

$ϕ(u,v):(u,v)→(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

e

$p(x,y):(x,y)→(u(x,y),v(x,y))$

il pdf che stavo leggendo dice che componendole $ϕ∘p$ trovo: $ϕ(x,y)=(x,y,z(x,y))$

Le mie domande sono di base, due:

1)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

chiariamo che $ϕ∘p:(x,y)→(x(u(x,y),v(x,y)),y(u(x,y),v(x,y)),z(u(x,y),v(x,y))) (*)$

mi confonde il seguente ragionamento, io so dalla ϕ che x dipende da u e v, e y anche, cioè ho un legame: $x(u,v),y(u,v) (**)$ quindi potrei scrivere che p è $(u(x(u,v),y(u,v)),v(x(u,v),y(u,v)))$.

Quindi quando compongo $ϕ∘p$ (scrivo solo il primo termine, ma per gli altri similmente) mi troverei ad avere usando la $(*)$ e sostituendo agli $(x,y)$ più interni le relazioni $(**)$ quanto segue: $ψ:=((x(u(x(u,v),y(u,v)),v(x(u,v),y(u,v))), y(...), z(...)))=(x(u,v),....,...)$ insomma ho di nuovo $x(u,v)$ e quindi comunque una ψ che dipende solo intrinsecamente da u,v: $ψ(u,v)$ dato che la dipendenza da u,v c'è per x e y. Quindi cosa ho ricavato? Un bel nulla. [mi sembra un loop]

Il discorso è abbastanza analogo in 1-D (forse più facile): se io ho $f: x->f(x)=y e g:y->g(y)=x$, allora $g∘f$ mi darà una l(x), ma siccome x è funzione di y tramite g io ho che: $g(f(g(y)))$ che è una $ h(y)$ di nuovo. Insomma anche se scrivo $g∘f(x)=l(x)$, x dipende intrinsecamente da y, quindi non capisco perché la ritengo libera.

N.B: si considerano rispettate le condizioni sui domini di composizione, compatibilità di tutti gli insiemi ecc..

2)

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Mettiamo di aver capito il punto 1) grazie alle vostre gentili future spiegazioni e quindi di seguire il ragionamento dell'autore, la seconda domanda è sul punto in cui ricavo $ϕ(x,y)=(x,y,z(x,y))$: io di fatto avrei dopo la composizione: $ϕ(x,y)=(x(u(x,y),v(x,y)),y(u(x,y),v(x,y)),z(u(x,y),v(x,y)))$.

Analizziamo:

- $x(u(x,y),v(x,y))$ che è una funzione x che dipende da u e v che a loro volta dipendono da x e y, in particolare come faccio a dimostrare che in generale se ho una funzione x che dipende da $u(x,y)$ e $v(x,y)$ separatamente, è uguale alla variabile unica x?

- per quanto riguarda $z(u(x,y),v(x,y)))$, esso diventa stando al pdf: $z(x,y)$ ma come faccio a dimostrare che se ho una funzione z che dipende da $u(x,y)$ e $v(x,y)$ separatamente, è uguale a una funzione $f(x,y)$? Voglio dire: io ho qualcosa (e quel qualcosa sono u e v) che dipendono separatamente nei due "Input" della funzione z sia da x e y: $z(u(x,y),v(x,y)))$; poi mi riduco ad avere una funzione z con due input che dipendono solo da x e y: z(x,y). Tuttavia a me sembra di avere inizialmente una z(.,.) con primo ingresso che dipende da x e y assieme e secondo che dipende da x e y dato che u dipende da entrambe (x e y contemporaneamente) così come v, e poi affermo che z dipende nel primo ingresso solo da x e nel secondo solo da y, ma come si mostra che ciò è vero?

Grazie a chi mi spiegherà

La funzione $x$ e la variable $x$ sono connesse in qualche modo? Lo stesso per $u$.

Ci ho pensato molto, ma sai che non credo di aver colto il tuo suggerimento.

Mi verrebbe da dire che x funzione e x variabile sono connesse dal fatto che x(u,v)=x valore della variabile.

Ci ho pensato molto, ma sai che non credo di aver colto il tuo suggerimento.

Non è un suggerimento. È una domanda. Perché gli stessi nomi sono stati riciclati?

Perché la funzione x ha come immagine dei vari elementi del suo dominio i valori di x variabile