Come si diceva
ieri con Martino, sono conti
Chiama $K:=QQ(\xi)$, $xi$ radice settima primitiva dell'unità. L'estensione ha grado 6 e una base di $K$ su $QQ$ è data da $(1,xi,xi^2,xi^3,xi^4,xi^5)$. Un qualunque elemento di $K$ si potrà scrivere quindi come (unica) combinazione lineare di elementi della base. Sia $alpha=a_0+a_1xi+a_2xi^2+a_3xi^3+a_4xi^4+a_5xi^5$.
Prendi il $QQ$-automorfismo $xi \mapsto xi^2$ e chiamalo $phi$. Allora $phi(alpha)=a_0+a_1xi^2+a_2xi^4+a_3xi^6+a_4xi^8+a_5xi^10$.
Ora, come puoi ridurre questa espressione a qualcosa di umano? Be', basta notare che vale la seguente relazione: $1+xi+xi^2+xi^3+xi^4+xi^5+xi^6=0$ ($xi$ è radice del settimo polinomio ciclotomico). Ma allora puoi esprimere $phi(alpha)$ come c.l. di elementi della base scelta di $K$ (perchè le potenze di $xi$ con esponente maggiore di 5 sono combinazioni lineari di quelle di esponente più basso). A quel punto imponendo l'uguaglianza (gli elementi del sottocampo fisso sono quelli per cui $alpha=\phi(alpha)$) trovi un sistema lineare. Una volto risolto, dovresti trovare (modulo errori di conto) che il sottocampo fisso è $\{a+b(xi+xi^2+xi^4), a,b \in QQ\}$.
A questo punto ti chiedo (domanda facile): questo campo intermedio è un'estensione normale di $QQ$?