Come si scrive questo simbolo in LaTeX?

Ho pensato di aprire questo tema per necessità, ma chissà magari verrà utile anche a qualcun altro in futuro!
Comunque sia, come si scrive in LaTeX la produttoria con una freccia verso l'altro (risp. verso il basso) in mezzo, cioè io vorrei \( \prod \) e dentro vorrei metterci \(\uparrow \)

[...] io vorrei \( \prod \) e dentro vorrei metterci \(\uparrow \)

Ma perché?

Non credo ci sia un simbolo del genere già disponibile (e se c'è lo trovi sulla solita symbols list), quindi dovresti creartelo tu "sovrapponendo" i due simboli che ti interessano.
Se ho capito bene cosa vuoi ottenere, in maniera molto artigianale farei così:
\[
\prod \! \! \! \! \! \! \! \uparrow \text{ e } \prod \! \! \! \! \! \! \! \downarrow
\]

Codice:

\newcommand{\produp}{\prod \! \! \! \! \! \! \! \uparrow}
\newcommand{\proddwn}{\prod \! \! \! \! \! \! \! \downarrow}


ma credo si possa fare tipograficamente meglio.

[...] io vorrei \( \prod \) e dentro vorrei metterci \(\uparrow \)

Ma perché?

Non credo ci sia un simbolo del genere già disponibile (e se c'è lo trovi sulla solita symbols list), quindi dovresti creartelo tu "sovrapponendo" i due simboli che ti interessano.
Se ho capito bene cosa vuoi ottenere, in maniera molto artigianale farei così:
\[
\prod \! \! \! \! \! \! \! \uparrow \text{ e } \prod \! \! \! \! \! \! \! \downarrow
\]

Codice:

\newcommand{\produp}{\prod \! \! \! \! \! \! \! \uparrow}
\newcommand{\proddwn}{\prod \! \! \! \! \! \! \! \downarrow}


ma credo si possa fare tipograficamente meglio.

Ti ringrazio molto!

Ma perché?

Perché lavoro in gruppi non commutativi e siccome posso interpretare \( \prod_{i=1}^{n} g_i \) in \(n! \) modi di cui due ragionevoli e gli altri no, e io ho bisogno di entrambi i modi ragionevoli e di scambiarli frequentemente siccome tutto ciò che si comporta in un certo modo a destra con gli indici crescenti si comporta in modo simmetrico a sinistra con gli indici decrescenti vorrei scrivere in modo compatto senza star lì a dover specificare più volte cosa intendo con \( \prod_{i=1}^{n} g_i \).

Codice:

\newcommand{\produp}{
\mathchoice
 {\mathop{\ooalign{$\prod$\cr$\hfil\uparrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\textstyle\prod$\cr$\hfil\small\uparrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\scriptstyle\prod$\cr$\hfil\scriptstyle\uparrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\scriptscriptstyle\prod$\cr$\hfil\scriptscriptstyle\uparrow\hfil$}}}
}

\newcommand{\proddown}{
\mathchoice
 {\mathop{\ooalign{$\prod$\cr$\hfil\downarrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\textstyle\prod$\cr$\hfil\small\downarrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\scriptstyle\prod$\cr$\hfil\scriptstyle\downarrow\hfil$}}}
 {\mathop{\ooalign{$\scriptscriptstyle\prod$\cr$\hfil\scriptscriptstyle\downarrow\hfil$}}}
}


Grazie mille! Tipograficamente mi piace di più, ma c'è un problema, quando scrivo \( \prod_{i=1}^{n} \) gli indici non vanno sotto la produttoria ma di fianco, come risolvere?

Dipende quando succede, ovviamente. Se lo vuoi "risolvere" per della matematica inline, in realtà non c'è niente da risolvere, e non dovrebbe mettere i delimitatori a lato in displaymath (l'ho testato)

Su overleaf se faccio

Codice:

$ \produp_{i=1}^{n} $

oppure anche se faccio

Codice:

 \begin{align*} \produp_{i=1}^{n} \end{align*}

me li mette a lato.

Certo, perché l'ambiente in cui stai espandendo la macro \produp è matematica inline, sia nel primo che nel secondo snippet. Questo è esattamente il comportamento prescritto da mathchoice, perché è quello corretto. In displaymath, invece, i delimitatori sono sopra-e-sotto, di nuovo, come è giusto che sia.

Ecco, sapevo che c'era un modo più efficiente.