Criterio di derivabilità

Sì l'ultimo criterio che hai scritto determina la derivabilità e anche la non derivabilità. In altre parole se si ipotizza l'esistenza dei due limiti laterali di $f'(x)$ hai condizioni necessarie e sufficienti.

Non mi piace.

Trovo che tutta questa sarabanda sia solo un modo per confondere le idee, che invece devono essere ben chiare.

E' vero questo teorema, ed è il risultato fondamentale (è una condizione sufficiente di derivabilità, conseguenza facilina del teorema di Lagrange):

Sia $f:[a,b] \to RR$. Se
1) $f$ è continua in $[a,b]$;
2) $f$ derivabile in $(a,b)$;
3) esiste $lim_(x->a^+) f'(x)$ ed è un numero reale $l$;
allora la funzione $f$ è derivabile in $a$ DA DESTRA e risulta $f'_+(a) = l$.

Da qui si ricava la validità, nel caso di limite finito, di quell'enunciato assurdo che hai riportato qui

Te lo riporto così come ce l'ho scritto negli appunti:
Sia $f$ continua
...

e che è un corollario di questo risultato, che dipende solo dal fatto che un limite esiste ed è reale se e solo se esistono i limiti da dx e da sx e sono lo stesso numero reale.

Le considerazioni si estendono dal caso di limite finito a quello di limite infinito per i quali si sfrutta un teorema analogo a quello riportato qui all'inizio.