Criterio di derivabilità

Stavo ripassando alcuni teoremi relativi alle derivate e non mi è chiarissimo il criterio di derivabilità (quello che non usa il limite del rapporto incrementale per stabilire la dericabilità della funzione in un punto $x_0$).
In particolare, il criterio dice che:
1) se $f(x)$ è continua in $[a,b]$;
2) derivabile in $(a,b)$ a eccezione al più di un punto $x_{0}in(a,b)$
3) risulta $li{m}_{(}x->x_0^{-})f^{\prime }(x)=li{m}_{(}x->x_0^{+})f^{\prime }(x)=l$,
allora la funzione è derivabile in $x_0$ e risulta $f^{\prime }(x_0)=l$.

Applicando il teorema alla seguente funzione:

$\text{Extra close brace or missing open brace}$
In effetti risulta $li{m}_{(}x->0^{+})f^{\prime }(x)=-1!=li{m}_{(}x->0^{-})f^{\prime }(x)=0$, quindi la funzione non è derivabile in $0$. In particolare viene a mancare la terza ipotesi del teorema.

Se però considero:

$\text{Extra close brace or missing open brace}$, se voglio studiare la derivabilità in $x_0=0$ applicando la definizione di derivata ottengo:

$li{m}_{(}h->0)(f(0+h)-f(0))/h=li{m}_{(}h->0)(h^{2}sen(1/h))/h=0$.
Quindi la funzione in $0$ è derivabile (ha derivata nulla).
Calcolo $f^{\prime }(x)$ per provare a capire la derivabilità della funzione in $0$ col criterio di sopra:
$f^{\prime }(x)=2xsen(1/x)-cos(1/x)$. $li{m}_{(}x->0)f^{\prime }(x)$ non esiste. Come nel primo caso, il limite della derivata in $x_0$ non esiste, tuttavia nel caso di sopra la funzione non era derivabile in quel punto mentre qui lo è.
Cosa non mi è chiaro di questo criterio di derivabilità?