Derivata della funzione potenza

Stavo riflettendo sul fatto che $x^n$, all'aumentare di $n$, diventa sempre più schiacciata sull'asse $x$ in un intorno di $0$, e ciò significa che in $-epsilon<0<epsilon$, con $epsilon$ "molto piccolo", $f'(x_0)$ tende ad essere sempre più basso, con $x_0 in -epsilon<0<epsilon$. Detto in altre parole, il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di $x^n$, in un intorno di $0$ "sufficientemente piccolo" tende a $0$ se $n->+oo$.
Però ora mi chiedevo: quanto deve essere piccolo questo intorno? Perché ad esempio $f'(x^5) = 5x^4$, $f'(0.99)~~4.8$, mentre $f'(x^4)=4x^3$ e $f'(0.99)~~3.88$.
Più in generale, prese $x^n$ e $x^(n+1)$, qual è l'$x_0$ che rende le derivate delle due funzioni, calcolate in $x_0$, uguali?
Io ho ragionato così. Prendo $x^n$ e $x^(n+1)$ $f'(x^n)=nx^(n-1)$, $f'(x^(n+1))=(n+1)x^n$.
Quindi: $nx^(n-1) = (n+1)x^n => x = n/(n+1)$. Preso quindi $x_0$ in un intorno di $0$ di raggio $n/(n+1)$, mi aspetto che la derivata di $x^n$ calcolata in $x_0$ sia sempre maggiore della derivata di $x^(n+1)$, calcolata sempre in $x_0$. E' giusto il ragionamento? Ci stavo pensando proprio ora ma mi sembra corretto.

Hai scoperto le successioni di funzioni, importante argomento, quindi complimenti.

Guarda il grafico delle funzioni $x^n$ all'aumentare di $n$, nell'intervallo $[0,1]$:




come vedi le funzioni sono sempre più schiacciate, all'aumentare di $n$ tendono a sedersi sull'asse delle $x$, e facendo tendere $n\rightarrow \infty$ vanno a zero in tutti i punti in $[0,1)$. Resta escluso il punto $1$, lì le funzioni sono tutte inchiodate a $1$ e non si muovono di lì.

Quindi l'intervallo che cerchi, considerando le $x^n$ in $[0,1]$, in cui "il coefficiente angolare della retta tangente tende a $0$ per $n\rightarrow \infty$ " è l'intervallo $[0,1)$.

Per $n\rightarrow \infty$ la successione di funzioni $x^n$ in $[0,1]$, intervallo chiuso, tende ad appiattirsi totalmente sull'asse delle $x$ tranne nel punto $1$ dove resta sempre $1$. Cioè per $n\rightarrow \infty$ la successione di funzioni $x^n$ in $[0,1]$ ha come limite¹ la funzione $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$, che vedi in rosso sopra, cioè la funzione (discontinua):

\( f(x) =\begin{cases} 0 & \text{se} \; x\in [0,1)\ \\1 & \text {se} \;x=1\end{cases} \)

Un ragionamento simile puoi fare per $x\leq 0$.
L'insieme di definizione è fondamentale, ragionando come sopra si può constatare che la successione $x^n$ converge puntualmente solo in $(-1,1]$. Come puoi renderti conto, in $x=-1$ non converge, oscilla tra $-1$ e $1$.

Per fare questo discorso rigorosamente, con le definizioni, le technicalities e l'ambaradàn bisognerebbe studiare le successioni di funzioni, ma non è questo il momento.

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Note

1. Si chiama limite puntuale, si dice che la successione di funzioni $x^n$ converge puntualmente per $n\rightarrow\infty$ alla funzione $f(x)$, ma ora non ci frega che significa. ↑

Interessante il concetto di successione di funzioni, non l'ho mai incontrato. Comunque più o meno ho capito la tua spiegazione, che la successione di funzioni $x^n$ per $n->+oo$ converge ad $1$ (ovviamente nell'intervallo $[0,1]$) lo si può capire anche considerando $x=n/(n+1)$, che tende ad $1$ per $n->+oo$. Il fatto che poi la successione di funzioni valga $0$ in $[0,1)$, per $n->+oo$, come hai detto è dovuto al fatto che la successione di funzioni non si appiattisce mai sopra $x=1$, quindi mi torna anche questo punto.

Interessante il concetto di successione di funzioni, non l'ho mai incontrato. Comunque più o meno ho capito la tua spiegazione, che la successione di funzioni $x^n$ per $n->+oo$ converge ad $1$ (ovviamente nell'intervallo $[0,1]$

Però la successione non converge a $1$ converge a $0$ per ogni $x\in [0,1)$, converge a $1$ solo per $x=1$.
Guarda la linea rossa + palletta rossa, che rappresenta la funzione limite nell'intervallo chiuso [0,1].
Le funzioni all'aumentare di $n$ ,$x^2, x^3, x^4, x^5, ... x^n...$ , sono sempre più sedute sull'asse $x$, tranne che per $x=1$.
Se non ti quadra, disegnatele una a una, per $n=1,2,3,4,...$, e vedi come si schiacciano sempre più al crescere di $n$.
Però, qualunque sia $n$, per $x=1$ valgono sempre $1$, da cui l'inchiodamento dove c'è la palletta rossa.
Come vedi, è una successione di funzioni continue, $x^n$, che poi andando al limite per $n\rightarrow \infty$ si 'spezza' nella funzione discontinua $f(x)$: si spiaccica sull'asse delle $x$ in $[0,1)$, ma resta la palletta rossa in alto per $x=1$

Questo è giusto un insight, sono cose che richedono di essere studiate rigorosamente, ma adesso mi sembra che non è il caso, metti troppa carne a cuocere.
Non hai mai visto l'argomento perché in genere sta sui libri di analisi 2, e poi mi sa che a economia non si fa.
Però la tua domanda andava lì.

Mi pare tu stia ponendo due domande differenti, senza però tentare di discriminare cosa ti interessa chiedere effettivamente... Ma in ogni caso la risposta è una: basta fare i conti.

Fissato $varepsilon >0$, diciamo che vuoi sapere per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $|f^'(x)| < varepsilon$.
Per fare ciò, ti basta risolvere la disequazione $|nx^(n-1)|<varepsilon$, con parametro $n in NN$ e diciamo pure $n>= 2$ per stare tranquilli.
Come dovresti sapere dalle superiori, hai:

$|n x^(n-1)| < varepsilon \ <=>\ n|x|^(n-1) < varepsilon \ <=>\ |x|^(n-1) < varepsilon/n \ <=>\ |x| < (varepsilon/n)^(1/(n-1))$

quindi la semiampiezza massima che i consente di avere $|f^'(x)| < varepsilon$ intorno a $0$ è:

$delta = delta_(n, varepsilon) = (varepsilon/n)^(1/(n-1))$.

Se vuoi sapere come, fissato $varepsilon > 0$ "piccolo", questa semiampiezza si comporta al crescere dell'esponente $n$, ti basta calcolare il $lim_(n -> oo) delta_(n,varepsilon)$.

Altro problema, invece, è stabilire se esiste qualche valore di $x in [0,1]$ tale che $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ (con, come sopra, $n in NN$ ed $n>=2$ per stare tranquilli).
Chiaramente almeno un tale valore esiste ed è $x_0=0$, ovviamente.
Se provi a risolvere l'equazione $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ sotto la condizione $x != 0$ ti accorgi (sempre Matematica delle superiori) che essa equivale a $n = (n+1) x$ e ti dà come soluzione $x_n = n/(n+1)$.

In ogni caso, l'Analisi c'entra poco: come vedi sono calcoli (risoluzioni di equazioni e disequazioni con parametri e valori assoluti) che dovresti saper fare dalle superiori.

Però la successione non converge a $1$ converge a $0$ per ogni $x\in [0,1)$, converge a $1$ solo per $x=1$.
Guarda la linea rossa + palletta rossa, che rappresenta la funzione limite nell'intervallo chiuso [0,1].
Le funzioni all'aumentare di $n$ ,$x^2, x^3, x^4, x^5, ... x^n...$ , sono sempre più sedute sull'asse $x$, tranne che per $x=1$.

Hai ragione, ieri ho scritto con un po' di superficialità.

Fissato $varepsilon >0$, diciamo che vuoi sapere per quali valori di $x$ è soddisfatta la condizione $|f^'(x)| < varepsilon$.
Per fare ciò, ti basta risolvere la disequazione $|nx^(n-1)|<varepsilon$, con parametro $n in NN$ e diciamo pure $n>= 2$ per stare tranquilli.
Come dovresti sapere dalle superiori, hai:

$|n x^(n-1)| < varepsilon \ <=>\ n|x|^(n-1) < varepsilon \ <=>\ |x|^(n-1) < varepsilon/n \ <=>\ |x| < (varepsilon/n)^(1/(n-1))$

quindi la semiampiezza massima che i consente di avere $|f^'(x)| < varepsilon$ intorno a $0$ è:

$delta = delta_(n, varepsilon) = (varepsilon/n)^(1/(n-1))$.

Molto interessante anche questo, soprattutto perché non ci avevo mai ragionato, anche se non era proprio quello che volevo sapere.

Altro problema, invece, è stabilire se esiste qualche valore di $x in [0,1]$ tale che $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ (con, come sopra, $n in NN$ ed $n>=2$ per stare tranquilli).
Chiaramente almeno un tale valore esiste ed è $x_0=0$, ovviamente.
Se provi a risolvere l'equazione $nx^(n-1) = (n+1) x^n$ sotto la condizione $x != 0$ ti accorgi (sempre Matematica delle superiori) che essa equivale a $n = (n+1) x$ e ti dà come soluzione $x_n = n/(n+1)$.

Quello che volevo sapere era questo. Più che altro stavo ripassando le derivate e il mio libro, come argomento introduttivo, si sofferma sulle funzioni $x^2$, $sqrt(x)$ e $x$ in un intorno destro di $0$, e osserva come tali funzioni avessero una diversa propensione al cambiamento all'aumentare di $x$: $x^2$ cambia relativamente poco, $x$ nella media e $sqrt(x)$ ha elevata reattività (passami i termini imprecisi). Quindi ho deciso di fare qualche esempio con alcune funzioni del tipo $x^n$ ed ho osservato che per $n->+oo$ le funzioni tendono a $0$ in $[0,1)$, cioè diventano sempre meno reattive in questo intorno e questo si riflette con delle rette tangenti alla funzione sempre più piatte. Volevo capire però quale dovesse essere questo intorno destro di $0$ affinché la derivata di $x^(n+1)$, calcolata in $x_0 in I_(0)^+$, fosse minore della derivata di $x^n$ calcolata in $x_0$, e come risultato ho trovato proprio che, in $0<x<n/(n+1)$, la derivata di $x^(n+1)$ è minore della derivata di $x^n$. Ho capito questo mentre stavo scrivendo il post, per questo forse è venuto un po' confusionario su cosa chiedessi. Alla fine si è tramutato in una domanda che confermasse la correttezza del mio ragionamento, consapevole del fatto che discuterne con voi sarebbe stato a prescindere un ottimo modo per capire meglio la questione e magari anche altre cose che ignoro.

"Reattività"...

Vabbé, passi.
Però ricorda che tra il tendere a zero e l'impennarsi poco non c'è questo grande legame. Ci sono successioni di funzioni che tendono a zero, però oscillano "selvaggiamente" mentre lo fanno (sicché le derivate fanno un gran casino).