Integrali Tripli

Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

io farei un cambiamento di variabile.... userei el coordinate sferiche...

ciao ciao

Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:

$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$

Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:

$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$

dove poi:

$\{(dx=cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta),(dy=sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta),(dz= d zeta):}$


l'integrale si "riduce" a:

$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} root(3)(rho^2)*(cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta)*(sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta)d zeta$

ovvero:

$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(2/3)*cos(theta)sin(theta)*drho drho d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(5/3)cos(2*theta) drho d theta d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(8/3)*cos(theta)sin(theta)*d theta d theta d zeta$

Salvo errori reputo che questa sia la soluzione che cerchi... i dettagli del calcolo te li lascio volentieri.

P.S. ho inserito i limiti a $-oo$ e $+oo$ visto che non viene detto che il cilindro è limitato.

il cilindro e limitato !! l'Equazione $z=root(2)(x^2+y^2)$ e quella di un cilindro limitato!!
E poi come mai hai trovato il dx dy e dz? nn si usa il determinante jacobiano uguale $ρ$ per le trasformazioni cilindriche??

sì infatti ho sbagliato ^_^ sorry ma ero di fretta

Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)

Per un integrale triplo serve un dominio diverso da quello che dici tu.

Puoi prendere la parte interna di un cono, ma devi specificare meglio il dominio di integrazione.

Riprendo usando il mio precedente post:[

Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:

$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$

Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:

$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$

dove poi:

$J = [[cos(theta), -rho*sin(theta), 0],[sin(theta), rho*cos(theta), 0],[0,0,1]]$

$det (J) = rho$

da cui:

$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(t_0)^(t_1) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$

Ed ora dovrei esserci... (controllate plz che in analisi non sono troppo bravo )

P.S. ho inserito gli estremi di integrazione a $t_0$ e $t_1$ per $zeta$.

*Franced :

come devo specificare il dominio di integrazione??
il dominio di integrazione e appunto il cono con quella equazione!! cioe devo integrare quella funzione di 2 variabili in quel cono!

Il cilindro ove tu integri rimanendo generico ha altezza infinita, quindi sono necessari dei limiti di altezza sostanzialmente... oppure ulteriori vincoli.

Secondo me la soluzione è la seguente....
Innanzitutto possiamo operare con coordinate polari perchè il dominio dove integrare è l'eq di una circonferenza centrata nell'origine con raggio UGUALE a "z".


quindi:
$x=z cos theta$
$y=z sen theta$
$z=z$

da cui:

$int_0^(+oo) int_0^(2 pi) z*z^(2/3) d theta dz$ dato che il raggio è fissato sparisce l'integrale che dipende dl $rho$ (inteso come raggio).