Relazione di variazione limitata tra una funzione e le sue componenti

[andreadel1988]

Si ha che $f:[a, b]->RR^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti.
Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max{||f_1(x)||_{RR^n},...,||f_n(x)||_{RR^n}}<=||f(x)||_{RR^n}<=||f_1(x)||_{RR^n}+...+||f_n(x)||_{RR^n}$ per ogni $x in[a,b]$.
Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0<x_1,...,x_(p-1)<x_p=b}in\Omega[a,b]$ una scomposizione di $[a,b]$. Allora $AAiin{0,...,n}$ si ha $v(f_i,\sigma)=\sum_{k=1}^p||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}<=\sum_{k=1}^p||f(x_k)-f(x_(k-1))||_{RR^n}=v(f,\sigma)<+infty$ (poichè $f$ è a variazione limitata), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ e $AAiin{0,...,n}$ si ha che $v(f_i,\sigma)<+infty$ e quindi $f_i$ è a variazione limitata.
Supponiamo ora che $f_i$ è a variazione limitata $AAiin{0,...,n}$, sia $\sigma={a=x_0<x_1,...,x_(p-1)<x_p=b}in\Omega[a,b]$ una scomposizione di $[a,b]$. Allora $v(f,\sigma)=\sum_{k=1}^p||f(x_k)-f(x_(k-1))||_{RR^n}<=\sum_{k=1}^p\sum_{i=1}^n||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}=\sum_{i=1}^n\sum_{k=1}^p||f_i(x_k)-f_i(x_(k-1))||_{RR^n}=\sum_{i=1}^nv(f_i,\sigma)<+infty$
(poichè somma finita di quantità finite poichè $f_i$ è a variazione limitata $AAiin{0,...,n}$), ma allora $AA\sigmain\Omega[a,b]$ si ha che $v(f,\sigma)<+infty$ e quindi $f$ è a variazione limitata.

Può andar bene?