Relazione di variazione limitata tra una funzione e le sue componenti

Si ha che $f:[a,b]->R{R}^n$ è $BV[a,b]$ (ovvero a variazione limitata) se e solo se lo sono tutte le sue funzioni componenti.
Posto $f(x)=(f_1(x),...,f_n(x))$ ricordiamo le relazioni $max||f_1(x)|{|}_{R{R}^n},...,||f_n(x)|{|}_{R{R}^n}<=||f(x)|{|}_{R{R}^n}<=||f_1(x)|{|}_{R{R}^n}+...+||f_n(x)|{|}_{R{R}^n}$ per ogni $xin[a,b]$.
Supponiamo che $f$ sia a variazione limitata, sia $\sigma={a=x_0 Supponiamo ora che $f_i$ è a variazione limitata $AAiin0,...,n$, sia $\sigma={a=x_0 (poichè somma finita di quantità finite poichè $f_i$ è a variazione limitata $AAiin0,...,n$), ma allora $AA\text{sigmain}\mathrm{\Omega }[a,b]$ si ha che $v(f,\sigma )<+infty$ e quindi $f$ è a variazione limitata.

Può andar bene?