Sottosuccessione dei termini dispari e pari

Ciao a tutti volevo chiedervi se mi sapete dimostrare la seguente proposizione:
Sia $a_n$ una successione, essa converge ad $l$ se e solo se $a_(2k)$ e $a_(2k+1)$ convergono entrambe a $l$
Non riesco a dimostrarla nè verso destra nè verso sinistra.

Devi almeno provarci, altrimenti non è evidente né a te né a noi quali sono i tuoi dubbi. Cominciamo con l'implicazione destra (ossia, se converge a $l$ la successione convergono allo stesso limite $l$ le sottosuccessioni dei pari e dei dispari). Il suggerimento è: per ogni $n\in\mathbb{N}$, risultano $2n \ge n$ e $2n+1>n$.

Sì scusami hai ragione. A lezione ci è stato detto che se per $n>n_epsilon$ succede che $a_n$ cade in un intorno di $l$, allora prendendo $n=2k+1>=2n_epsilon+1>=n_epsilon$ dimostro l’implicazione verso destra ma non ho capito perché.
Mentre per l’implicazione opposta, sapendo che $a_(2k)$ e $a_(2k+1)$ si trovano in un intorno di $l$ per $k>n_(epsilon_1)$ e per $k>n_(epsilon_2)$ rispettivamente, prendendo il massimo tra $2n_(epsilon_1),2n_(epsilon_2)+1$ si verificano entrambe le condizioni, quindi possiamo concludere che anche $a_n$ converge ad $l$. Non mi torna in questo caso perché devo prendere il massimo tra quei due numeri invece che prendere il massimo tra $n_(epsilon_1),n_(epsilon_2)$, inoltre come faccio a dire che se le sottosuccessioni pari e dispari cadono in un intorno di $l$ per $n>n_epsilon$ allora ci “cade” anche tutta $a_n$?

Sì scusami hai ragione. A lezione ci è stato detto che se per $n>n_epsilon$ succede che $a_n$ cade in un intorno di $l$, allora prendendo $n=2k+1>=2n_epsilon+1>=n_epsilon$ dimostro l’implicazione verso destra ma non ho capito perché.

Guardala anche intuitivamente: la definizione di limite ti dice che da un certo punto in avanti i termini di $a_n$ stanno vicino quanto vogliono a $l$. Diciamo che $N_\epsilon$ è questo "certo punto in avanti". Se $n>N_\epsilon$, da $2n \ge n$ e $2n+1>n$, segue che $2n+1>n>N_\epsilon$ e $2n \ge n >N_\epsilon$. Quindi, per l'ipotesi di convergenza della successione anche i termini della successione con indici pari e dispari varcano la "soglia". Quindi, le sottosuccessioni dei pari e dei dispari stanno vicino quanto vogliono a $l$.

Mentre per l’implicazione opposta, sapendo che $a_{2k}$ e $a_{2k+1}$ si trovano in un intorno di $l$ per $k>n_{ε_1}$ e per $k>n_{ε_2}$ rispettivamente, prendendo il massimo tra $2n_{ε_1},2n_{ε_2}+1$ si verificano entrambe le condizioni, quindi possiamo concludere che anche $a_n$ converge ad $l$. Non mi torna in questo caso perché devo prendere il massimo tra quei due numeri invece che prendere il massimo tra $n_{ε_1},n_{ε_2}$, inoltre come faccio a dire che se le sottosuccessioni pari e dispari cadono in un intorno di $l$ per $n>n_ε$ allora ci “cade” anche tutta $a_n$?

Prova a ragionarci alla luce di quanto ho detto appena su.

Grazie per l’aiuto, chiedo scusa se ho ripubblicato più volte, non ritrovavo il vecchio post, ora ci ragiono un attimo ma credo di aver capito