convergenza integrale con parametro

buongiorno a tutti ! è da giorni che provo a risolvere un esercizio sulla convergenza del seguente integrale indefinito:
$\int_0^+infty(1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))dx$
per ipotesi $\beta>=7$.
sicuramente va diviso in due integrali impropri perché presenta problemi in entrambi gli estremi di integrazione, ma non riesco a venire a capo.
Guardando per x che tende a 0 rimango bloccato immediatamente, poiché l'esponenziale al denominatore tende a 1 ma poi non riesco a ricondurmi alla forma degli integrali notevoli con x e logaritmo di x al denominatore.
Ad infinito, invece, prevalendo il termine di grado maggiore a numeratore e denominatore rimane il logaritmo di una costante, quindi l'integrale converge indipendentemente dal valore di beta (?)
Probabilmente mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma ho fatto e visto non so quanti esercizi e nessuno si presenta in una forma simile... generalmente il parametro è all'esponente e i logaritmi si presentano in forma log(1+f(x)) in modo da poter usare Taylor.
Grazie in anticipo a tutti per l'aiuto

Ultima modifica di fily_killer il 07/05/2024, 16:27, modificato 1 volta in totale.

Ciao fily_killer,

Benvenuto sul forum!

Nell'integrale proposto ci sono un po' troppe parentesi aperte che non sono chiuse, inoltre

Ad infinito, invece, prevalendo il termine di grado maggiore a numeratore e denominatore rimane il logaritmo di una costante

Dov'è l'infinito? Nell'integrale che hai proposto gli estremi sono $0$ e $1$:

buongiorno a tutti ! è da giorni che provo a risolvere un esercizio sulla convergenza del seguente integrale indefinito:
$\int_0^1(1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))dx $
per ipotesi $\beta \ge 7$.

In realtà l'integrale definito proposto è il seguente

$\int_0^1(1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))))\text{d}x $

oppure il seguente

$\int_0^{+\infty}(1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))))\text{d}x $

?

Il problema è che non hai ancora completamente chiare le tecniche di base per risolvere i limiti e come esse si usino per ottenere stime asintotiche sui vari ordini di infinito ed infinitesimo.

Sai che l'integrabilità impropria dipende, nei casi "buoni", dall'ordine di infinito/infinitesimo dell'integrando nei punti "brutti".
Vediamo cosa accade per $x -> 0^+$. L'integrando $1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x)))$ si presenta nella forma indeterminata $0/0$; tuttavia:

$log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))) = log(1 + ((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x)) - 1) = log(1 + ((\beta-7)x+1 - x - e^(-8x))/(x+e^(-8x))) = log(1 + ((\beta-8)x + 1 - e^(-8x))/(x+e^(-8x)))$,

e, ricordando l'approssimazione al primo ordine del logaritmo e dell'esponenziale (che vengono fuori dai limiti notevoli) $log (1 + t) ~~ t$, $e^t ~~ 1 + t$ per $t -> 0$, hai:

$log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))) ~~ ((\beta-8)x + 1 - e^(-8x))/(x+e^(-8x)) ~~ ((\beta-8)x + 1 - 1 + 8 x)/(x+e^(-8x)) = (beta x)/(x+e^(-8x)) ~~ beta x$;

quindi:

$1/sqrt(x)*log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))) ~~ 1/sqrt(x) * beta x = beta sqrt(x) -> 0$ per $x -> 0^+$

e l'integrando si prolunga con continuità su $0$.

Immagino che lo stesso tipo di stime si possa usare nell'altro estremo "brutto" dell'integrale improprio. : wink:

ciao a entrambi e grazie per la risposta !
allora, l'integrale è effettivamente indefinito, gli estremi di integrazione sono 0 e + infinito, non so come sia uscito quell'1, ora lo correggo !
grazie gugo per lo spunto, ma comunque sono perso, anche quando lavoro con la x tendente all'infinito, poiché la soluzione proposta per l'esercizio è "l'integrale converge per $\beta=8$".
mi sembra quasi che l'integrale converga per qualsiasi valore di beta. inoltre perché dopo che sei giunto alla conclusione che il logaritmo è asintotico a $(\betax)/(x+e^(-8x))$ dici che questo è asintotico al numeratore?
con la convergenza delle serie non ho mai avuto problemi ma con gli integrali veramente mi perdo

ciao a entrambi e grazie per la risposta !

Prego!

allora, l'integrale è effettivamente indefinito

No, l'integrale indefinito è un'altra cosa, quello proposto è un integrale improprio su un intervallo illimitato:

$ \int_0^{+\infty}1/\sqrt(x) log[((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))]\text{d}x = \int_0^1 1/\sqrt(x)log[((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))]\text{d}x + \int_1^{+\infty}1/\sqrt(x) log[((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x))]\text{d}x $

mi sembra quasi che l'integrale converga per qualsiasi valore di beta

Questo è vero per il primo integrale, come ti ha già mostrato gugo82, ma non per il secondo, quello da $1$ a $+\infty $

inoltre perché dopo che sei giunto alla conclusione che il logaritmo è asintotico a $(\betax)/(x+e^(-8x))$ dici che questo è asintotico al numeratore?

Devi pensare a cosa accade per $x \to 0^+ $: la $x$ al denominatore diventa trascurabile, mentre $e^(-8x) $ si avvicina a $1$, quindi...

inoltre perché dopo che sei giunto alla conclusione che il logaritmo è asintotico a $(beta x)/(x + e^(-8x))$ dici che questo è asintotico al numeratore?

Come detto:

Il problema è che non hai ancora completamente chiare le tecniche di base per risolvere i limiti e come esse si usino per ottenere stime asintotiche sui vari ordini di infinito ed infinitesimo.

lavorerei su questo.

vi ringrazio per le risposte! mi avete dato sicuramente una mano, ci lavoro un po' su e cerco di capire come mai quel risultato per la convergenza a + infinito. Grazie !

ciao a tutti! riapro il topic perché sono ancora in difficoltà.
ho guardato bene la soluzione per x che tende a 0 che ha mandato gugo e, in effetti, non so come non ci ho pensato.
assodato quindi che per a 0 l'integrale converge per ogni valore di beta, la soluzione che trovo io per la convergenza dell'integrale ad infinito non coincide con quella proposta dal testo.
poiché, per la gerarchia degli infiniti, raccogliendo l'infinito di grado maggiore all'interno dell'argomento del logaritmo si ottiene $log(((\beta-7)x)/x)$, si possono semplificare le x e si ottiene il logaritmo di un valore che è una costante, e dunque non influisce sulla convergenza dell'integrale. L'unica condizione è che questa logaritmo esista e, dunque, che $\beta-7>0$, il che si verifica per $\beta>7$.
così facendo, però, non solo non mi riconduco alla soluzione proposta dal testo, ma $\int_1^(+infty)1/(sqrt(x))log(((\beta-7)x+1)/(x+e^(-8x)))dx = \int_1^(+infty)1/(sqrt(x))dx$ che, tuttavia, diverge.
Sapete dirmi dove sto sbagliando?

Sapete dirmi dove sto sbagliando?

Stai sbagliando perché devi scrivere le condizioni su $\beta $ per le quali per $x \to +\infty $ l'argomento del logaritmo sia del tipo $(1 + 1/x) $ in modo che si possa scrivere

\( \displaystyle \log\bigg(1 + \frac{1}{x}\bigg) \sim \frac{1}{x} \)

In tal modo si ha un integrale del tipo

$\int_1^{+\infty} 1/(x \sqrt(x)) \text{d}x = 2 $

@ fily_killer:

[...] non so come non ci ho pensato.

Siamo sempre lì: perché ti mancano le abilità algebriche di base sui limiti.
Ti conviene fare esercizi sull'uso dei limiti notevoli per stabilire stime asintotiche prima di buttarti a svolgere esercizi più complessi.

Ad esempio:

$log (((beta - 7) x + 1)/(x + e^(-8x))) = log ((beta - 7)*(x + 1/(beta - 7))/(x + e^(-8x))) = log (beta - 7) + log((x + e^(-8x) + 1/(beta - 7) - e^(-8x))/(x + e^(-8x))) = log (beta - 7) + log(1 + (1 - (beta - 7)e^(-8x))/((beta - 7)(x + e^(-8x))))$.

quindi per $x -> +oo$:

$log (((beta - 7) x + 1)/(x + e^(-8x))) ~~ log(beta - 7) + (1 - (beta - 7)e^(-8x))/((beta - 7)(x + e^(-8x))) ~~ log(beta - 7) + 1/((beta - 7) x)$.