Ho provato a risolvere il problema sul cerchio unitario :
$Delta u = 0 $
$u(1,theta)= cos^2( theta) = f(theta ) $
in due modi diversi.
Il primo è il metodo di separazione delle variabili che porta facilmente al risultato, il secondo applicando la formula di Poisson con la quale si perviene a un integrale di cui non intravedo la soluzione.
Avendo provato anche con altri problemi e non avendo ottenuto un risultato, mi è venuto il dubbio che la formula di Poisson sia sintetica ed elegante ma poco pratica.
A) Metodo di separazione delle variabili
E’ necessario sviluppare il dato $f(theta)=cos^2 (theta) $ in serie di Fourier.
Essendo $ cos (2theta)= cos^2(theta)-sin^2(theta)= 2 cos^2(theta)-1 $ si ottiene subito lo sviluppo in serie : $cos^2( theta) = ½+1/2cos (2theta)$.
La formula risolutiva per l’incognita $u(rho, theta) $ è :
$u(rho,theta)= (alpha_0)/2 +sum_(n=1)^oo (rho/R)^n [ alpha_n cos (ntheta) + beta_n sin( ntheta)]$.
In questo caso è : $R=1 ;beta_n=0 ;alpha_2=1/2 $ e quindi la soluzione è :
$u(rho,theta) = ½+1/2 rho^2 cos (2theta) $ che in forma cartesiana vale $u(x,y)= ½+1/2 rho^2(x^2/((rho)^2)-y^2/((rho)^2))=1/2(1+x^2-y^2)$ essendo $cos (2theta) = cos^2(theta)-sin^2(theta)= x^2/(rho^2)-y^2/(rho^2)$.
Metto in spoiler la verifica del Teorema della media per la funzione armonica $u(rho,theta) $
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$u(0, theta)=1/2$ ; valor medio =$ 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(theta)d(theta)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi)cos^2(theta) d(theta) =1/2.$
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B) Formula integrale di Poisson
La formula è :$u(rho,theta)= 1/(2pi) int_(-pi)^(pi) f(s)[(R^2-rho^2)/(R^2+rho^2-2rho R cos (theta-s) ]ds $.
Nel caso nostro è : $R=1 ; f(s)= cos^2s $ per cui
$u(rho,theta) = (1-rho^2)/(2pi) int_(-pi)^(pi) (cos^2s*ds)/(1+rho^2-2rhocos(theta-s) $.
Come si prosegue per pervenire al risultato già noto ??