ordine di annullamento di una f derivabile

ciao a tutti ,

a breve sosterrò l'esame di analisi e ho molta difficoltà nella comprensione di questa esegesi:

https://www.dropbox.com/s/6jmcfe5o2b682 ... n.png?dl=0

ve ne sarei molto grato, non riesco proprio ad arrivarci da solo.. grazie

Innanzi tutto ti invito a riscrivere i testi e non a linkare l'immagine. Un giorno l'immagine non ci sarà più, e chi leggerà il forum vedrà un post mutilato.

Data una funzione \(f:I \to \mathbb{R}\) indichiamo con \(\alpha \in I\) un suo zero, ovvero quel punto in cui \(f(\alpha) = 0\).



L'ordine \(n\) dello zero \(\alpha\) è il numero della prima derivata non nulla nel punto \(\alpha\), ovvero:
\[f(\alpha) = f'(\alpha) = f''(\alpha) = \dots = f^{(n-1)}(\alpha) = 0 \quad f^{(n)}(\alpha) \not = 0\]

Ora, come osserva il tuo testo, dato che ovviamente la derivata di ordine zero, ovvero la funzione stessa è nulla per definizione l'ordine non può essere \(< 1\). Tutto qui!

Per visualizzare questo ordine puoi ragionare su il polinomio di Taylor:
\[f(x) = \underbrace{\cancel{f(\alpha)}}_{\color{red}{ = 0}} + f'(\alpha)(x-\alpha) + \frac{f''(\alpha)(x-\alpha)^2}{2} + \dots\]

Più l'ordine sarà elevato più la convergenza a questo zero sarà rapida e la funzione tenderà localmente a schiacciarsi sull'asse \(x\). In altri termini si può dire che l'ordine dello zero è l'ordine di contatto tra la la funzione e l'asse delle ascisse.

Innanzi tutto ti invito a riscrivere i testi e non a linkare l'immagine. Un giorno l'immagine non ci sarà più, e chi leggerà il forum vedrà un post mutilato.

hai ragione allora scrivo stavolta

ho un'altra domanda: sia $ 1/f(t) $ la f integranda di un integrale generalizzato di cui si desidera studiare il carattere. Si ha che f(a) = 0, inoltre la derivata prima di f(t) è diversa da zero in R, dove R è l'insieme dei numeri reali, la funzione ha dunque ordine di annullamento 1. Dunque, siccome f(t) è un infinitesimo del primo ordine in un intorno di a, l'integrale diverge, giusto?

inoltre: cosa ne pensi di questa spiegazione?

Supponiamo che f = g/h sia una funzione rapporto di funzioni definite e continue in un intervallo I, α un punto di I, e supponiamo che g(α) ≠ 0, h(α) = 0, h´(α) ≠ 0.
Allora l’integrale improprio

b
∫ f(x)dx
α

non converge.
Questo perché, per x → α
f(x) ~ k/(x – α)
dove k = g(α)/h´(α) ≠ 0, e la funzione k/(x – α) non è integrabile in un intervallo contenente il punto x = α.

è corretta? grazie

nessuno?

Apri un altro post, quest'argomento non c'entra niente qui. Inoltre è obbligatorio scrivere le formule opportunamente dopo i 30 messaggi:

3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.