integrale definito

ciao ragazzi, mi date una mano col seguente integrale?
$int_2^3 x/(x^2+x-2) dx$
sono arrivato al punto:
svolgendo i calcoli arrivo a:
$int_2^3 (x+1-1)/(x^2+x-2)dx =
1/2int_2^3 (2x+2)/(x^2+x-2)dx -int_2^3 1/(x^2+x-2)dx=$
$1/2int_2^3 (2x+1)/(x^2+x-2) +1/(x^2+x-2)dx -int_2^3 1/(x^2+x-2)dx=$
$1/2int_2^3 (2x+1)/(x^2+x-2) dx +1/2int_2^3 1/(x^2+x-2)dx -int_2^3 1/(x^2+x-2)dx$

ora, il primo integrale è della forma $int (f'(x))/f(x) dx$ mentre gli altri due non so come trattarli.
mi date una mano?
grazie

-scomponi il denominatore nella forma $frac{A}{x-x_1}+frac{B}{x-x_2}$ e fai il minimo comune multiplo
-poi evidenzia la $x$ e trova di conseguenza $A$ e $B$
-ora hai due integrali nella forma $1/(ax+b)$

Allora, le soluzioni di $x^2+x-2$ sono $x_1=-2$ e $x_2=1$. Ora scrivi $frac{x}{x^2+x-2}=frac{A}{-2}+frac{B}{1}{2}}$.
Fai il minimo e il numeratore risulterà del tipo $K*x+J$, con K e J in funzione di A e B. Poni K=1 e J=0 poichè il numeratore iniziale era $x=1*x+0$ e ricava $A$ e $B$.
Ora puoi riscriverlo come somma di due fratte di primo grado, cioè due logaritmi.

Ultima modifica di kobeilprofeta il 16/09/2014, 12:36, modificato 1 volta in totale.

Questo metodo è sempre applicabile quando ti trovi un polinomio di grado 1 al numeratore e uno di grado 2 al denominatore. A meno che non sia nella forma $frac{f'(x)}{f(x)}$, dove sarebbe stupido.

ho provato a svolgerlo:
$1/(x^2+x-2)$ le due radici mi escono $x_1=1$ e $x_2=-2$

andando avanti:
$1/((x-1)(x+2))=A/(x-1)+B/(x-2) rArr{ ( A+B=0 ),( 2A-B=1 ):}rArr { ( A=1/3 ),( B=-1/3 ):}$
quindi:

$1/2int_2^3 (2x+1)/(x^2+x-2)dx+1/2int_2^3 1/3*1/(x-1) dx+1/2int_2^3 -1/3*1/(x+2) dx-1/2int_2^3 1/3*1/(x-1) dx-1/2int_2^3 -1/3*1/(x+2) dx=$

$1/2[ln|x^2+x-2|]_2^3+1/6[ln|x-1|]_2^3-1/6[ln|x+2|]_2^3-1/6[ln|x-1|]_2^3+1/6[ln|x+2|]_2^3=$

$1/2ln(5/2)$

è corretto?

Hai trovato $frac{x}{x^2+x-2}=frac{1/3}{x-1}+frac{-1/3}{x+2}$ quindi $\int frac{x}{x^2+x-2}=1/3*ln|x-1|-1/3 ln|x+2|$ ora sostituisci i valori degli estremi di integrazione e trova il risultato.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

dovrebbe essere $1/3*ln(25/8)$

grazie!!