Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.
21/11/2014, 18:57
Ciao a tutti
Mi è stato richiesto di calcolare la convergenza della seguente serie:
$ sum_(n=0) root(2)(|x|^(2n)+|2x|^n) $ fino ad infinito.
Non riesco a capire come procedere, ovvero non riesco a ricondurmi a forme note per poi riuscire a semplificare il tutto. Potreste darmi dei suggerimenti?
Grazie infinite
21/11/2014, 20:07
$ sum_(n=0)^(+oo)sqrt(|x|^(2n)+|2x|^n)=sum_(n=0)^(+oo)sqrt(|x|^(2n)(1+|2x|^n/|x|^(2n)) $
22/11/2014, 09:21
$ sum_(n=0)^(+oo) sqrt(|x|^(2n)(1+|2x|^n/|x|^(2n)) $
$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt((1+|2x|^n/|x|^(2n)) $
$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt(1+ (|(2x)/x^2|^(n))) $
$ sum_(n=0)^(+oo) |x|^(n) sqrt(1+ (|2/x|^(n))) $
è corretto proseguire così? o devo seguire un'altra strada??
23/11/2014, 01:38
Scusa ho fatto un errore: raccogli $ |2x|^n $ invece di $ |x|^(2n) $ cosi:
$ sqrt(|x|^(2n)+|2x|^n)=(sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n) $
$ (sqrt(|2x|))^n<=(sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n) $ quindi per $ sqrt(|2x|)>1 $ cioe' $ |x|>=1/2 $ la serie diverge per il criterio del confronto
$ (sqrt(|2x|))^nsqrt(1+(|x|/2)^n)~(sqrt(|2x|)) $ serie geometrica convergente per $ |x|<1/2 $ . Quindi per questi valori la serie data converge. Nota che la relazione asintotica vale per solo per |x|<2.
Ultima modifica di
ostrogoto il 24/11/2014, 12:36, modificato 1 volta in totale.
23/11/2014, 13:45
Beh ottimo direi
grazie mille per la soluzione
Mi hai dato un nuovo metodo per risolvere questi tipi di serie
Skuola.net News è una testata giornalistica iscritta al Registro degli Operatori della Comunicazione.
Registrazione: n° 20792 del 23/12/2010.
©2000—
Skuola Network s.r.l. Tutti i diritti riservati. — P.I. 10404470014.